Тема 4. Неопределённый интеграл.

1. Первообразная и неопределённый интеграл.

Функция F(x) называется первообразной функции f(x), если

Множество всех первообразных некоторой функции f(x) называется неопределенным интегралом функции f(x) и обозначается как

Таким образом, если F - некоторая частная первообразная, то справедливо выражение

где С - произвольная постоянная. 

2. Основные свойства интеграла.

В приведенных ниже формулах f и g - функции переменной x, F - первообразная функции f,  а, k, C - постоянные величины.

3. Интегрирование по частям

Пусть u(x) и v(x) являются дифференцируемыми функциями. Дифференциал произведения функций u и v определяется формулой

Проинтегрировав обе части этого выражения, получим

или, переставляя члены,

Это и есть формула интегрирования по частям. 

4. Интегрирование методом подстановки.

Рассмотрим неопределенный интеграл F(x) некоторой функции f(x). Для упрощения вычисления интеграла часто удобно выполнить замену переменной. Переход от x к новой переменной u описывается выражением

где x = g (u) - подстановка. Соответственно, обратная функция u = g ⁻¹(x)описывает зависимость новой переменной от старой.  Важно иметь ввиду, что дифференциал dx должен быть заменен на дифференциал новой переменной du.

5. Интегрирование рациональных дробей.

Для интегрирования рациональной функции , где P(x) и Q(x) - полиномы, используется следующая последовательность шагов:

1. Если дробь неправильная (т.е. степень P(x) больше степени Q(x)), преобразовать ее в правильную, выделив целое выражение;

2. Разложить знаменатель Q(x) на произведение одночленов и/или несократимых квадратичных выражений;

3. Разложить рациональную дробь на простейшие дроби, используя метод неопределенных коэффициентов;

4. Вычислить интегралы от простейших дробей.

Рассмотрим подробно шаг 3. Разложение рациональной дроби на сумму простейших дробей.

Запишем рациональную функцию в следующем виде:

Общее число неопределенных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , ... должно быть равно степени знаменателя Q(x).  Затем умножим обе части полученного уравнения на знаменатель Q(x) и приравняем коэффициенты при слагаемых с одинаковыми степенями x. В результате мы получим систему линейных уравнений относительно неизвестных коэффициентов Ai , Bi , Ki , Li , Mi , Ni , .... Данная система всегда имеет единственное решение. Описанный алгоритм представляет собой метод неопределенных коэффициентов.