Интегрирование тригонометрических функций.

Интегрирование любого рационального выражения тригонометрических функций можно всегда свести к интегрированию алгебраической рациональной функции используя универсальную тригонометрическую подстановку x = 2arctg t (или ).  Для преобразования рациональных выражений от sin x, cos x, tg x, ctg x, sec x и cosec x в алгебраические рациональные функции переменной t применяются следующие тригонометрические формулы:

1. Интегралы вида

Для решения данных интегралов применяются формулы преобразования произведения тригонометрические функций в сумму или разность:

2. Интегралы вида

Здесь и везде ниже предполагается, что m и n - натуральные числа. Для вычисления таких интегралов используются следующие подстановки и преобразования:

1. Если степень косинуса n - нечетная (при этом степень синуса m может быть любой), то используется подстановка .

2. Если степень синуса m - нечетная, то используется подстановка .

3. Если степени m и n - четные, то сначала применяются формулы двойного угла

чтобы понизить синуса или косинуса в подынтегральном выражении. Затем, если необходимо, применяются правила a) или b).

3. Интегралы вида

Степень подынтегрального выражения в данном интеграле можно понизить с помощью тригонометрического соотношения и формулы редукции

4. Интегралы вида

Здесь степень подынтегрального выражения понижается с помошью соотношения и формулы редукции

5. Интегралы вида

Данный тип интеграла упрощается с помощью следующей формулы редукции:

6. Интегралы вида

Аналогично предыдущим пунктам, интеграл упрощается с помощью формулы

7. Интегралы вида

1. Если степень секанса n - четная, то c помошью соотношения секанс выражается через тангенс. При этом множительотделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате весь интеграл (включая дифференциал) выражается через функцию tg x.

2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель sec x tg x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее весь интеграл выражается через sec x.

3. Если степень секанса n - нечетная, а степень тангенса m - четная, то тангенс выражается через секанс с помощью формулы . Затем вычисляются интегралы от секанса.

8. Интегралы вида

1. Если степень косеканса n - четная, то c помошью соотношения косеканс выражается через котангенс. При этом множительотделяется и используется для преобразования дифференциала. В результате подынтегральная функция и дифференциал выражаются через ctg x.

2. Если обе степени n и m - нечетные, то отделяется множитель ctg x cosec x, необходимый для преобразования дифференциала. Далее интеграл выражается через cosec x.

3. Если степень косеканса n - нечетная, а степень котангенса m - четная, то котангенс выражается через косеканс с помощью формулы . Далее вычисляются интегралы от косеканса.