Замена переменных в двойных и тройных интегралах.

Для вычисления двойного интеграла иногда удобнее перейти в другую систему координат.Замена переменных в двойном интеграле описывается формулой

где выражение представляет собой так называемыйякобиан преобразования , аS − образ области интегрирования R, который можно найти с помощью подстановки в определение областиR. Отметим, что в приведенной выше формуле означает абсолютное значение соответствующего определителя.Предполагая, что преобразование координат является взаимно-однозначным, обратное соотношение описывается якобианом

при условии, что знаменатель нигде не равен 0. Итак, замена переменных в двойном интеграле производится с помощью следующих трех шагов:

1. Найти образ Sв новой системе координатдля исходной области интегрированияR;

2. Вычислить якобиан преобразования и записать дифференциал в новых переменных;

3. Заменить в подынтегральном выражении исходные переменные xиy, выполнив, соответственно, подстановкии.

При вычислении тройного интеграла, как и двойного, часто удобно сделать замену переменных. Пусть исходный тройной интеграл задан в декартовых координатах x, y, z в области U:

Требуется вычислить данный интеграл в новых координатах u, v, w. Взаимосвязь старых и новых координат описывается соотношениями:

Предполагается, что выполнены следующие условия:

1. Функции φ, ψ, χ непрерывны вместе со своими частными производными;

2. Существует взаимно-однозначное соответствие между точками области интегрирования U в пространстве xyz и точками области U' в пространстве uvw;

3. Якобиан преобразования I (u,v,w), равный

отличен от нуля и сохраняет постоянный знак всюду в области интегрирования U.

Тогда формула замены переменных в тройном интеграле записывается в виде:

В приведенном выражении означает абсолютное значение якобиана.