logo
Осень 13-весна 14 курс 1-2 ОрТОР (сейчас это называют ТОЛААД) / СЕССИЯ / Математика / Otvety_na_ekzamenatsionnye_voprosy_po_vyshmatu_2

Тройные интегралы и их вычисление.

Рис.1

Тройной интеграл от функции f (x,y,z) в параллелепипеде определяется как предел суммы Римана, при котором максимальное значение приращений Δxi, Δyj и Δzk стремятся к нулю:

Основные свойства тройного интеграла

Пусть функции f (x,y,z) и g (x,y,z) интегрируемы в области U. Тогда справедливы следующие свойства:

, гдеk- константа;

Если в любой точке областиU, то;

Если область Uявляется объединением двух непересекающихся областейU1иU2, то;

Пусть m- наименьшее иM- наибольшее значение непрерывной функцииf (x,y,z) в областиU. Тогда для тройного интеграла справедлива оценка:

где V- объем области интегрированияU.

Теорема о среднем значении тройного интеграла. Если функцияf (x,y,z) непрерывна в областиU, то существует точкаM0U, такая, что

где V- объем областиU.

Пример 1

Оценить максимальное значение тройного интеграла

      

где U представляет собой шар с центром в начале координат и радиусом R = 6.

Решение.

Уравнение шара имеет вид

      

Используя свойство 6, можно записать

      

где объем шара V равен

      

Максимальное значение M подынтегральной функции равно

      

Отсюда получаем верхнюю оценку тройного интеграла:

      

Пример 2

Оценить максимальное и минимальное значение тройного интеграла

      

где область U является параллелепипедом:

      

Решение.

Сначала вычислим объем области интегрирования U:

      

Оценка интеграла выглядит как

      

Здесь минимальное значение m подынтегральной функции равно

      

Соответственно, максимальное значение M составляет

      

Таким образом, оценка интеграла имеет вид

      

  1. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Yandex.RTB R-A-252273-4