Уравнение касательной и нормали к графику.
Рассмотрим кривую, уравнение которой есть y=f(x). Возьмем на этой кривой точку M(x0, y0), и составим уравнение касательной к данной кривой в точке M, предполагая, что эта касательная не параллельна оси Oy.
Уравнение прямой с угловым коэффициентом в общем виде есть у=kx + b. Поскольку для касательной k= f'(x0), то получаем уравнение y= f'(x0)·x + b. Параметр b найдем из условия, что касательная проходит через точку M(x0, y0). Поэтому ее координаты должны удовлетворять уравнению касательной: y0= f'(x0)·x0 + b. Отсюда b=y0– f'(x0)·x0.
Таким образом, получаем уравнение касательнойy= f'(x0)·x +y0 – f'(x0)·x0 или y = f '(x0)·(x – x0) + f(x0)
Нормальюк кривой в данной точке называется прямая, проходящая через эту точку перпендикулярно к касательной в данной точке.
Из определения нормали следует, что ее угловой коэффициент kn связан с угловым коэффициентом касательной k равенством:
Учитывая, что нормаль также как и касательная проходит через точку M(x0, y0), то уравнение нормали к кривой y= f(x) в данной точке M имеет вид:
.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Высшая математика» (II семестр) тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- Непрерывность функции одной переменной, имеющей конечную производную.
- Уравнение касательной и нормали к графику.
- Теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного двух функций одной переменной.
- Производная сложной функции.
- Производная обратной функции.
- Производные функций, заданных неявно и параметрически.
- Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
- Правило Лопиталя.
- Теоремы о необходимом и достаточном условии существования точек перегиба.
- Асимптоты кривой.
- Тема 3. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
- Дифференцирование сложной функции.
- Понятие экстремума функции двух переменных.
- Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
- Тема 4. Неопределённый интеграл.
- Интегрирование иррациональных функций.
- Дифференциальный бином.
- Интегрирование тригонометрических функций.
- Тема 5. Определённый интеграл.
- Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл как предел интегральных сумм.
- Основные свойства определённого интеграла.
- Вычисление длин дуг плоских кривых.
- Тема 6. Несобственные интегралы.
- Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Признаки сходимости.
- Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости.
- Тема 7. Двойные и тройные интегралы.
- Двойные интегралы. Изменение порядка интегрирования.
- Вычисление двойных интегралов.
- Тройные интегралы и их вычисление.
- Замена переменных в двойных и тройных интегралах.
- Криволинейные интегралы.