Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл как предел интегральных сумм.
Задача о площади криволинейной трапеции
Рассмотрим плоскую фигуру, ограниченную линиями y = 0, x = a, x = b и y = f(x), где f(x) есть непрерывная положительная функция, заданная при a ≤ x ≤ b.
Разделим [a,b] точкамиa=x0<x1<x2< ... <xn-1<xn=bи пустьλ= max(xk+1-xk). Прямыеx=xkразбивают нашу трапецию наnузких полос. Так как функцияf(x) непрерывна, то она мало меняется приxk≤x≤xk+1и без большой погрешности ее можно считать на промежутке [xk,xk+1] постоянной и равнойf(ξk), гдеξkесть произвольно взятая точка промежутка [xk,xk+1].
Площадь этой ступенчатой фигуры, очевидно, равна
Естественно считать, что эта площадь при малом λявляется приближенным значением интересующей нас площадиF. Поэтому по определению будем называтьплощадьюнашей криволинейной трапеции предел
Задача о массе стержня
Если стержень однороден, то его истинная плотность одинакова во всех его точках и равна его средней плотности. У неоднородного же стержня истинная плотность p меняется от точки к точке. Если определять положение каждой точки M стержня с помощью расстояния x ее от одного из концов стержня (см. рис. 1), то его плотность p в точке x будет функцией от x, p = p(x). Поставим задачу, как, зная эту функцию и длину l стержня, найти его массу m.
При решении этой задачи будем считать плотность p(x) непрерывной функцией. Переходя к решению, разделим стержень точками x1 < x2 < ... <xn-1 (0 < xk < l) на n небольших участков (см. рис. 2).
Для единообразия обозначений положим еще x0 = 0, xn = l, и пусть λ есть наибольшая из разностей xk+1 - xk. Отдельный участок [xk, xk+1] стержня приближенно можно считать однородным [т. к. из-за его малости (непрерывная) функция p(x) не успевает на нем сколько-нибудь заметно измениться]. Делая такое допущение, мы тем самым принимаем плотность p(x) на участке [xk, xk+1] за постоянную. Пусть значение этой постоянной есть p(ξk), где ξk есть произвольно выбранная точка участка [xk, xk+1]. Тогда масса участка [xk, xk+1] будет равна p(ξk)(xk+1 - xk), а полная масса стержня будет
Полученное выражение массы является, однако, лишь приближенным, т. к. на самом деле отдельные участки стержня не однородны. Тем не менее, чем короче эти участки, т. е. чем меньше число λ, тем более точным будет найденное выражение m. Отсюда следует, что точное значение массы таково:
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Вопросы для подготовки к экзамену по дисциплине «Высшая математика» (II семестр) тема 1. Дифференциальное исчисление функции одной переменной.
- Непрерывность функции одной переменной, имеющей конечную производную.
- Уравнение касательной и нормали к графику.
- Теоремы о производной суммы, разности, произведения и частного двух функций одной переменной.
- Производная сложной функции.
- Производная обратной функции.
- Производные функций, заданных неявно и параметрически.
- Дифференцируемость и дифференциал функции. Геометрический смысл дифференциала.
- Основные теоремы дифференциального исчисления: теоремы Ролля, Лагранжа, Коши.
- Правило Лопиталя.
- Теоремы о необходимом и достаточном условии существования точек перегиба.
- Асимптоты кривой.
- Тема 3. Дифференцирование функций нескольких переменных.
- Частные производные и полный дифференциал функции двух переменных.
- Частные производные и дифференциалы высших порядков функции двух переменных.
- Дифференцирование сложной функции.
- Понятие экстремума функции двух переменных.
- Необходимое условие экстремума функции двух переменных.
- Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области.
- Тема 4. Неопределённый интеграл.
- Интегрирование иррациональных функций.
- Дифференциальный бином.
- Интегрирование тригонометрических функций.
- Тема 5. Определённый интеграл.
- Задачи, приводящие к понятию определённого интеграла. Определённый интеграл как предел интегральных сумм.
- Основные свойства определённого интеграла.
- Вычисление длин дуг плоских кривых.
- Тема 6. Несобственные интегралы.
- Несобственные интегралы с бесконечными пределами. Признаки сходимости.
- Несобственные интегралы от неограниченных функций. Признаки сходимости.
- Тема 7. Двойные и тройные интегралы.
- Двойные интегралы. Изменение порядка интегрирования.
- Вычисление двойных интегралов.
- Тройные интегралы и их вычисление.
- Замена переменных в двойных и тройных интегралах.
- Криволинейные интегралы.