2. Переменные величины и фу нкции.

Если каждому значению переменной х поставлено в соответствие одно число, то переменная у, определяемая совокупностью этих чисел, называется однозначной функцией х. Переменная х называется при этом аргументом, а данная совокупность значений аргумента - областью определения функции.

То, что у есть функция х, символически записывают в виде у = f(x), или у = F(x) и т. п. Символ f(x) или F(x) и т. п. обозначает закон соответствия переменных х и у, в частности, он может означать совокупность действий или операций, которые нужно выполнить над х, чтобы получить соответствующее значение у.

Даются определения предела по Коши и по Гейну.

Хорошо известен класс задач о доказательстве сужествования тех или иных пределов с помощью определения пределов. На первый взгляд эти задачи достаточно сложны, но если хорошо освоить данные определения пределов, то все становится ясным и очевидным.

Пример 1 - доказать используя определения предела:

Свойства пределов.

Обозначение предела Предел функции обозначается как

при

или через символ предела

Всюду ниже предполагается, что пределы функций существуют.

Рассмотрим основные свойства пределов.

Предел суммы

Предел суммы равен сумме пределов, если каждый из них существует, т.е.

Предел разности

Предел разности равен разности пределов, если каждый из них существует, т.е.

Предел постоянной величины

Предел постоянной величины равен самой постоянной величине:

Предел произведения функции на постоянную величину

Постоянный коэффициэнт можно выносить за знак предела:

Предел произведения Предел произведения равен произведению пределов, если каждый из них существует, т.е.

Предел частного

Предел частного равен частному пределов, если каждый из них существует и знаменатель не обращается в нуль, т.е.

Предел степенной функции

где степень p - действительное число.

Предел показательной функции

где основание b > 0.

Предел логарифмической функции

где основание b > 0.