Системы линейных однородных уравнений, свойства решений. Фундаментальная система решений. Общее решение.

Для линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка

y(n) + a1(x) y(n-1) + ... + an-1 (x) y' + an(x) y = 0,

где y = y(x) — неизвестная функция, a1(x), a2(x), ..., an-1(x), an(x) — известные, непрерывные, справедливо:

1) существуют n линейно независимых решений уравнения

y1(x), y2(x), ..., yn(x);

2) при любых значениях констант c1, c2, ..., cn функция

y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x)

является решением уравнения;

3) для любых начальных значений x0, y0, y0,1, ..., y0,n-1 существуют такие значения c*1, c*n, ..., c*n, что решение

y*(x)=c*1 y1(x) + c*2 y2(x) + ... + c*n yn (x)

удовлетворяет при x = x0 начальным условиям

y*(x0)=y0, (y*)'(x0)=y0,1 , ...,(y*)(n-1)(x0)=y0,n-1.

Выражение y(x)= c1 y1(x) + c2 y2(x) + ... + cn yn(x) называется общим решением линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка.

Совокупность n линейно независимых решений линейного однородного дифференциального уравнения n-го порядка y1(x), y2(x), ..., yn(x) называется фундаментальной системой решений уравнения.

Для линейного однородного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами существует простой алгоритм построения фундаментальной системы решений. Будем искать решение уравнения в виде y(x) = exp(lx):

exp(lx)(n) + a1exp(lx)(n-1) + ... + an-1exp(lx)' + anexp(lx)=

= (ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an)exp(lx) = 0,

т.е. число l является корнем характеристического уравнения

ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an = 0.

Левая часть характеристического уравнения называется характеристическим многочленом линейного дифференциального уравнения:

P(l) = ln + a1ln-1 + ... + an-1l + an.

Таким образом, задача о решении линейного однородного уравнения n -го порядка с постоянными коэффициентами сводится к решению алгебраического уравнения.

Если характеристическое уравнение имеет n различных действительных корней

l1№ l2 № ... № ln,

то фундаментальная система решений состоит из функций

y1(x) = exp(l1x), y2(x) = exp(l2x), ..., yn(x) = exp(lnx),

и общее решение однородного уравнения имеет вид:

y(x)= c1 exp(l1x) + c2 exp(l2x) + ... + cn exp(lnx).

ПРИМЕР 1. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых действительных корней.

Если какой-либо из действительных корней характеристического уравнения повторяется r раз (r-кратный корень), то в фундаментальной системе решений ему отвечают r функций; если

lk=lk+1 = ... = lk+r-1,

то в фундаментальную систему решений уравнения входят r функций:

yk(x) = exp(lkx),

yk+1(x) = xexp(lkx),

yk+2(x) = x2exp(lkx), ...,

yk+r-1(x) =xr-1 exp(lnx).

ПРИМЕР 2. Фундаментальная система решений и общее решение для случая кратных действительных корней.

Если характеристическое уравнение имеет комплексные корни, то каждой паре простых (имеющих кратность 1 ) комплексных корней

lk,k+1=ak ± ibk

в фундаментальной системе решений отвечает пара функций

yk(x) = exp(akx)cos(bkx), yk+1(x) = exp(akx)sin(bkx).

ПРИМЕР 3. Фундаментальная система решений и общее решение для случая п простых комплексных корней.

ПРИМЕР 4. Фундаментальная система решений и общее решение для случая простых комплексных корней. Мнимые корни.

Если же комплексная пара корней имеет кратность r, то такой паре

lk=lk+1 = ... = l2k+2r-1=ak ± ibk,

в фундаментальной системе решений отвечают функции

exp(akx)cos(bkx), exp(akx)sin(bkx),

xexp(akx)cos(bkx), xexp(akx)sin(bkx),

x2exp(akx)cos(bkx), x2exp(akx)sin(bkx),

................

xr-1exp(akx)cos(bkx), xr-1exp(akx)sin(bkx).