Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функций, имеющих производную.

Производная функции одно из основных и основополагающих понятий математического анализа. Также данной понятие употребляется в физике для описания траекторий и скоростей движения тел и других точных науках. Мы рассмотрим основные понятия и теоремы связанные с производной функции, также обсудим геометрический и физический смысл производной функции, приведем перечень правил, которые нужно соблюдать при взятии производной функции одной переменной, сложной функции и обратной функции. Также упомянем легкие построения касательной и нормали к кривой функции, используя производную данной функции.

Физический и геометрический смысл производной:

1) Физический смысл производной.

Если функция y = f(x) и ее аргумент x являются физическими величинами, то производная

• скорость изменения переменной y относительно переменной x в точке

Например, если S = S(t) – расстояние, проходимое точкой за время t, то ее производная

– скорость в момент времени

Если q = q(t) – количество электричества, протекающее через поперечное сечение проводника в момент времени t, то

– скорость изменения количества электричества в момент времени, т.е. сила тока в момент времени

.

2) Геометрический смысл производной.

Пусть

• н екоторая кривая,

точка на кривой l

Любая прямая, пересекающая l не менее чем в двух точках называется секущей.

Касательной к кривой l в точке

называется предельное положение секущей

если точка

стремится к

двигаясь по кривой.

Из определения очевидно, что если касательная к кривой в точке

существует, то она единственная.

22. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • Основные определения, связанные с матрицами.
    • Операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
    • 3. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратных матриц. Вычисление определителей. Свойства определителей.
    • Обратная матрица.
    • Системы линейных уравнений. Основные понятия.
    • Решение системы из п уравнений с п неизвестными по формуле Крамера и методом обратной матрицы.
    • Метод Гаусса.
    • Системы линейных однородных уравнений, свойства решений. Фундаментальная система решений. Общее решение.
    • Скалярные и векторные величины. Трехмерные векторы. Действия над векторами.
    • Свойства линейных операций над векторами.
    • Скалярное произведение векторов. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.
    • Системы координат. Декартова прямоугольная и полярная система координат. Расстояние между двумя точками.
    • Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Разные формы уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.
    • Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
    • Переменные и их пределы. Величины бесконечно малые и бесконечно большие.
    • 2. Переменные величины и фу нкции.
    • Теоремы о пределах. Раскрытие некоторых типов неопределенностей.
    • Замечательные пределы.
    • Асимптоты графика функции.
    • Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функций, имеющих производную.
    • Дифференциал и его геометрический смысл.
    • Монотонная функция. Условие монотонности функций.
    • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.
    • Направление вогнутости графика функции. Точки перегиба.
    • 1. Нахождение области определения функции.
    • Общая схема исследования графика функции.
    • Правило Лопиталя.

    Yandex.RTB R-A-252273-4