Решение системы из п уравнений с п неизвестными по формуле Крамера и методом обратной матрицы.
a11x1 + a12x2 + …+ a1n xn = b1;
a21x1 + a22x2 + …+ a2n xn = b2; (2)
……………………………………
an1x1 + an2x2 + …+ annxn = bn;
Определителем системы (2) называется определитель, составленный из коэффициентов аij.
a11 a12 … a1n
? = a21 a22 … a2n
…………………………
an1 an2 … ann
Рассмотрим случай, когда ? ? 0. Докажем, что в этом случае система (2) является определенной, т.е. имеет одно единственное решение. Как и ранее, через Аij будем обозначать алгебраическое дополнение элемента аij в определителе ?.
Умножим каждое уравнение системы (2) на алгебраические дополнения элементов i-го столбца определителя ?, т.е. первое уравнение умножим на А1i, второе - на А2i и т.д., наконец, последнее уравнение - на Аni, а затем все полученные уравнения системы сложим. В результате будем иметь
(a11x1 + a12x2 + …+ a1ixi + …+ a1nxn) A1i + (a21x1 + a22x2 + …+ a2ixi +
+ …+ a2nxn) A2i + …+ (an1x1 + an2x2 + …+ anixi + …+ anxnn) Ani = b1A1i + b2A2i + …+ bnAni
или, сгруппировав члены относительно известных x1, x2, …, xn, получим
(a11A1i + a21A2i + …+ an1Ani) x1 + … +
+ (a1iA1i + a2iA2i + …+ aniAni) xi + … +
+ (a1nA1i + a2nA2i + …+ annAni) xn =
= b1A1i + b2A2i + …+ bnAni. (3)
Коэффициент при неизвестной хi равен определителю ?, а коэффициенты при всех других неизвестных равны нулю. Свободный член уравнения (3) отличается от коэффициента при х1 тем, что коэффициенты а1i, а2i, …, аni заменены свободными членами b1, b2, …, bn уравнения (2). Следовательно, выражение b1A1i + b2A2i + …+ bnAni есть определитель i-го порядка, отличающийся от определителя только i-м столбцом, который заменен столбцом свободных членов. Обозначив этот определитель ?xi, будем иметь
a11 a12 … b1 … a1n
?xi = a21 a22 … b2 … a2n. (3)
………………………………
an1 an2 … bn … ann
Таким образом, уравнение (3) можно записать в виде
?х =?xi,
откуда при ? ? 0
х = ----
Придавая индексу i значения 1, 2, …, n, получаем:
х1 = ----;
х2 = ----;
(4)
………………
хn = ----.
Рассмотренный метод решения системы уравнений называется правилом Крамера, а формулы (4) - формулами Крамера.
-
Yandex.RTB R-A-252273-3
- Основные определения, связанные с матрицами.
- Операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
- 3. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратных матриц. Вычисление определителей. Свойства определителей.
- Обратная матрица.
- Системы линейных уравнений. Основные понятия.
- Решение системы из п уравнений с п неизвестными по формуле Крамера и методом обратной матрицы.
- Метод Гаусса.
- Системы линейных однородных уравнений, свойства решений. Фундаментальная система решений. Общее решение.
- Скалярные и векторные величины. Трехмерные векторы. Действия над векторами.
- Свойства линейных операций над векторами.
- Скалярное произведение векторов. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.
- Системы координат. Декартова прямоугольная и полярная система координат. Расстояние между двумя точками.
- Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Разные формы уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.
- Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
- Переменные и их пределы. Величины бесконечно малые и бесконечно большие.
- 2. Переменные величины и фу нкции.
- Теоремы о пределах. Раскрытие некоторых типов неопределенностей.
- Замечательные пределы.
- Асимптоты графика функции.
- Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функций, имеющих производную.
- Дифференциал и его геометрический смысл.
- Монотонная функция. Условие монотонности функций.
- Экстремум функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.
- Направление вогнутости графика функции. Точки перегиба.
- 1. Нахождение области определения функции.
- Общая схема исследования графика функции.
- Правило Лопиталя.