Монотонная функция. Условие монотонности функций.

Моното́нная фу́нкция — это функция, приращение которой не меняет знака, то есть либо всегда отрицательная, либо всегда положительная. Если в дополнение приращение не равно нулю, то функция называется стро́го моното́нной. Монотонная функция — это функция, меняющаяся в одном и том же направлении.

Функция возрастает, если большему значению аргумента соответствует большее значение функции. • Функция убывает, если большему значению аргумента соответствует меньшее значение функции.

Условия монотонности функции:

(Критерий монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция

непрерывна на (a,b), и имеет в каждой точке

производную f'(x). Тогда

f возрастает на (a,b) тогда и только тогда, когда

f убывает на (a,b) тогда и только тогда, когда

Достаточное условие другой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть функция

непрерывна на (a,b), и имеет в каждой

производную f'(x). Тогда

если

то f строго возрастает на (a,b);

если

то f строго убывает на (a,b).

Обратное, вообще говоря, неверно. Производная строго монотонной функции может обращаться в ноль. Однако, множество точек, где производная не равна нулю, должно быть плотно на интервале (a,b). Точнее имеет место

(Критерий строгой монотонности функции, имеющей производную на интервале) Пусть

и всюду на интервале определена производная f'(x). Тогда f строго возрастает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

Аналогично, f строго убывает на интервале (a,b) тогда и только тогда, когда выполнены следующие два условия:

24. Yandex.RTB R-A-252273-3
    Содержание

    • Основные определения, связанные с матрицами.
    • Операции над матрицами: умножение на число, сложение и умножение матриц. Транспонирование матриц.
    • 3. Определители квадратных матриц. Миноры и алгебраические дополнения элементов квадратных матриц. Вычисление определителей. Свойства определителей.
    • Обратная матрица.
    • Системы линейных уравнений. Основные понятия.
    • Решение системы из п уравнений с п неизвестными по формуле Крамера и методом обратной матрицы.
    • Метод Гаусса.
    • Системы линейных однородных уравнений, свойства решений. Фундаментальная система решений. Общее решение.
    • Скалярные и векторные величины. Трехмерные векторы. Действия над векторами.
    • Свойства линейных операций над векторами.
    • Скалярное произведение векторов. Условия параллельности и перпендикулярности векторов.
    • Системы координат. Декартова прямоугольная и полярная система координат. Расстояние между двумя точками.
    • Уравнение линии на плоскости. Линии первого порядка. Разные формы уравнения прямой. Расстояние от точки до прямой.
    • Общее уравнение плоскости в пространстве. Уравнение прямой в пространстве. Расстояние от точки до плоскости.
    • Переменные и их пределы. Величины бесконечно малые и бесконечно большие.
    • 2. Переменные величины и фу нкции.
    • Теоремы о пределах. Раскрытие некоторых типов неопределенностей.
    • Замечательные пределы.
    • Асимптоты графика функции.
    • Производная функции в точке. Геометрический и физический смысл производной. Непрерывность функций, имеющих производную.
    • Дифференциал и его геометрический смысл.
    • Монотонная функция. Условие монотонности функций.
    • Экстремум функции. Необходимое условие экстремума (теорема Ферма). Достаточное условие экстремума.
    • Направление вогнутости графика функции. Точки перегиба.
    • 1. Нахождение области определения функции.
    • Общая схема исследования графика функции.
    • Правило Лопиталя.

    Yandex.RTB R-A-252273-4