550. Визначення стаціонарного випадкового процесу, щільність ймовірностей для одного, k періодів.

Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у вузькому змісті, якщо

F(x₁, …, x_n; t₁, …, t_n) = F(x₁, …, x_n; t₁+∆, …, t_n+∆)

При довільних

n≥1, x₁, …, x_n, t₁, …, t_n; ∆; t₁ € T, t_i + ∆ € T...

Тут F(x₁, …, x_n; t₁, …, t_n) – n-мірна функція розподілу випадкового процесу Х(t).

Випадковий процес Х(t) називають стаціонарним у широкому змісті, якщо

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)

Очевидно, що зі стаціонарності у вузькому змісті треба стаціонарність у широкому змісті.

З формул:

m(t) = m(t + ?), K(t, t') = K(t + ?, t' + ?)

(t € T, t' € T, t + ?€ T), t' + ?€ T)

Треба, що для процесу, стаціонарного в широкому змісті, можна записати

m (t) = m_x(0) = const;

D (t) = K(t, t) = K(0,0) = const;

K(t, t') = K(t - t', 0) = K (0, t' - t)

Таким чином, для процесу, стаціонарного в широкому змісті, математичне очікування й дисперсія не залежать від часу, а K(t, t') представляє собою функцію виду:

K(t, t') = k(?) = k(-?), ? = t' - t.

Видно, що k(?) - парна функція, при цьому

K(0) = В = σ²; |k(τ)| ≤ k(0); ∑ ∑ ά_i α_j k(t_i - t_j) ≥ 0

Тут D - дисперсія стаціонарного процесу

Х(t), α_i (I = 1, n) – довільні числа.

Для n-й похідній стаціонарного випадкового процесу формула кореляційної функції має вигляд:

K_n(τ) = (-1)ⁿ * (δ²ⁿ *k(τ) / δτ²ⁿ)

Теорема. Стаціонарний випадковий процес X(t) з кореляційною функцією k(?) безперервний у середньому квадратичному у крапці t € T тоді й тільки тоді, коли

Lim k(?) = k(0)

Теорема. Якщо кореляційна функція k(τ) стаціонарного випадкового процесу X(t) безперервна в середньому квадратичному у крапці τ=0, то вона безперервна в середньому квадратичному у будь-якій крапці τ € R¹.

Теорема

Якщо кореляційна функція k(?) стаціонарного випадкового процесу X(t) задовольняє умові

Lim (1/T) ? |k(?)| dt = 0

Те X(t) є ергодичним по математичному очікуванню.