552. Ергодичні властивості стаціонарного випадкового процесу та його математична трактовка.

Нехай Х(t) - стаціонарний випадковий процес на відрізку часу [0,T] з характеристиками

M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),

? = t' - t, (t, t') € T?T.

Ергодична властивість стаціонарного випадкового процесу полягає в тім, що по досить тривалій реалізації процесу можна судити про його математичне очікування, дисперсію, кореляційній функції.

Більш строго стаціонарний випадковий процес Х(t) будемо називати ергодичним по математичному очікуванню, якщо

Lim M {|(1/ T)∫ X(t)dt|²} = 0

Теорема

Стаціонарний випадковий процес Х(t) з характеристиками:

M[X(t)] = 0, K(t, t') = M[X(t)X(t')] = k(?),

? = t' - t, (t, t') € T?T

є ергодичним по математичному очікуванню тоді й тільки тоді, коли

Lim (2/ T) ? k(?) (1 - ?/t)d? = 0.

Для доказу, мабуть, досить переконатися, що справедливо рівність

M{(1/ T) ∫X(t)dt|²} = (2/ T) ∫ k(?) (1 - ?/t)d?

Теорема

Якщо кореляційна функція k(?) стаціонарного випадкового процесу X(t) задовольняє умові

Lim (1/T) ? |k(?)| dt = 0

Те X(t) є ергодичним по математичному очікуванню.

553. Білий шум.

Білий шум — стационарный шум, стаціонарний складові якого рівномірно розподілені по всім діапазону задіяних частот.

Білий шум використовується для виміру частотных характеристик різних линейных динамических систем, таких як усилители, электронные фильтры, дискретные системы управления і т.д.  При подачі на вхід такої системи білого шуму, на виході одержуємо сигнал, що є відгуком системи на прикладений вплив. Через те, що амплитудно-фазовая частотная характеристика лінійної системи є відношення преобразования Фурье вихідного сигналу до перетворення Фур'є вхідного сигналу, одержати цю характеристику математично досить просто, причому для всіх частот, для яких вхідний сигнал можна вважати білим шумом.

У багатьох генераторах случайных чисел (як програмних, так і апаратних) білий шум використовується для генерування випадкових чисел і випадкових послідовностей.

Вектор випадкових чисел

Вектор випадкових чисел є послідовністю відліків білого шуму тоді й тільки тоді, коли його середнє значення й автокорреляционная матрица задовольняють наступним рівностям відповідно:

Тобто, це вектор випадкових чисел з нульовим середнім значенням, автокорреляционная матриця якого являє собою диагональную матрицу с дисперсиями по головній діагоналі.

Білий випадковий процес (білий шум)

Безперервний у часі випадковий процес w(t), де , є білим шумом, тоді й тільки тоді, коли його математическое очікування і автокореляційна функція задовольняють наступним рівностям відповідно:

.

В інших позначеннях, більш близьких радіофізикам вітчизняної школи:

.

Така автокореляційна функція припускає наступну спектральную плотность мощности:

тому що преобразование Фурье дельта-функції дорівнює одиниці на всіх частотах. Через те, що спектральна щільність потужності однакова на всіх частотах, білий шум і одержав свою назву ( за аналогією із частотним спектром білого світла).