545. Зведення гри двох осіб до задачі лінійного програмування.

Якщо гра 2  n або m  2 може бути розв’язана геометрично, то у випадку гри 3  n (m  3) геометрична інтерпретація переходить у простір, що ускладнює як її побудову, так і сприйняття. У випадку ж, коли n > 3, m > 3, геометрична інтерпретація взагалі неможлива. Для розв’язування гри m × n використовують прийом зведення її до задачі лінійного програмування.

Нехай розглядається парна гра зі стратегіями A1,A2,…,Am для гравця А та стратегіями B1,B2,…,Bm для гравця В і платіжною матрицею. Необхідно знайти оптимальні змішані стратегії X=(x1,x2,xm) та Y=(y1,y2,yn).

Знайдемо спочатку оптимальну стратегію гравця А. За основною теоремою теорії ігор така стратегія має забезпечити гравцеві виграш, не менший за ціну гри (поки що невідому величину) , за будь-якої поведінки гравця В.

Допустимо, що гравець А застосовує свою оптимальну стратегію, а гравець В — свою «чисту» j-ту стратегію B_j, тоді середній виграш гравця А дорівнюватиме: a1jx1+ a2jx2+…+ a1jx1.

За цих обставин виграш має бути не меншим, ніж ціна гри. Отже, для будь-якого значення j величина має бути не меншою, ніж :

Враховуючи умову, що x1+x2+xm=1, отримуємо t1+t2+tm=1/.

Необхідно зробити виграш максимальним. Цього можна досягти, коли вираз t1+t2+tm=1/ набуватиме мінімального значення. Отже, врешті маємо звичайну задачу лінійного програмування.

Цільова функція: max =min 1/ = minСумма t

Розв’язуючи цю задачу симплексним методом, знаходимо значення ti(i=1,m) а також величину 1/ і значення x=t, що є оптимальним розв’язком початкової задачі. Отже, визначено змішану оптимальну стратегію для гравця А.

За аналогією можна записати задачу лінійного програмування для визначення оптимальної стратегії гравця В.

Очевидно, що задача лінійного програмування для гравця В є двоїстою до задачі гравця А, а тому оптимальний розв’язок однієї з них визначає також оптимальний розв’язок спряженої.

546. Визначення випадкового процесу. Поняття перерізу, закону розподілу ймовірностей випадкового процесу.

Випадковим називається процес значення якого при будь-якому фіксованому є випадковою величиною . Отже, випадковий процес є функцією від t. Випадкова величина , в яку реалізувався випадковий процес при значенні аргументу , називають перерізом цього процесу.

Випадковий процес називають процесом із неперервними станами, якщо його переріз у будь-який момент часу t являє собою не дискретну, а неперервну випадкову величину.

Випадковий процес називають процесом із дискретними станами, якщо в будь-який момент часу t перерізом його є дискретна випадкова величина.

Якщо в деякому експерименті випадковий процес здійснився, маємо: , де уже не є випадковим процесом, і його залежність від t набуває цілком певного вигляду. Отже, — не випадкова функція.

Таким чином, провівши експеримент, дістанемо деяку реалізацію випадкового процесу

Кожна реалізація випадкового процесу являє собою невипадкову функцію , на яку перетворюється випадковий процес у результаті проведення експерименту.

Здійснивши не один експеримент, а кілька, дістанемо деяку множину реалізацій випадкового процесу.

Випадковий процес називають процесом із дискретним часом, якщо система, в якій він відбувається, може змінювати свої стани лише у фіксовані моменти часу кількість яких скінченна або зліченна. Множина моментів переходу системи є зліченною і дискретною.

Часто функцію розподілу ймовірностей називають інтегральним законом розподілу, а густину розподілу ймовірностей – диференціальним законом розподілу ймовірностей.

Функції та статистично повністю характеризують значення випадкової функції у заданий момент часу і тому їх називають одновимірними. Ці функції є найпростішими характеристиками випадкового процесу, оскільки вони дають уявлення про процес лише в окремі фіксовані моменти часу.