2.6 Понятие кривой и линии

В некоторых учебных пособиях различают понятие кривой и линии [4].

Пусть I -- интервал, отрезок или полуоткрытый интервал на прямой R. Путем (или параметризованной кривой) класса Ck в пространстве R3 называется вектор - функция r: I>R3 класса Ck, которую, будем обозначать (I, r). Путь (I, r) называется:

Простым, если отображение r инъективно;

Регулярным, если для всякой внутренней точки

;

Бирегулярным, если для всякой внутренней точки

?

Два пути (I, r=г(t) и (J, с = с(s)) класса Сk где I, J --интервалы, называются эквивалентными, если существует диффеоморфизм л: I>J класса Сk такой, что r(t)= с(л(t)). Классы эквивалентных путей (параметризованных кривых) называются кривыми, а каждый путь этого класса -- параметризацией кривой. Функция л: I>J, задающая эквивалентность двух путей, называется заменой параметра. Если (I, r) -- путь, то множество r(I) ? R3 называется образом этого пути. Все эквивалентные пути, образующие данную кривую, имеют один и тот же образ, который называется образом этой кривой. Часто образ кривой называют кривой, хотя различные кривые могут иметь один и тот же образ. Кривая, образ которой содержится в некоторой плоскости, называется плоской. Кривая называется простой (регулярной, бирегулярной), если существует ее параметризация, которая является простой (регулярной, бирегулярной).

Пусть задан путь r=r(t). Рассмотрим все такие эквивалентные ему пути, которые получаются заменой параметра с положительной производной . Класс таких путей называется ориентированной кривой. Параметризация кривой называется натуральной, если . Всякая регулярная кривая допускает натуральную параметризацию. Натуральный параметр, обозначаемый обычно через s, есть длина дуги кривой, отсчитываемая от некоторой начальной точки, и взятая со знаком + или --. Подмножество из R3 называется линией (или одномерным многообразием) класса Ck, если для всякой точки существует окрестность W этой точки в R3 и регулярный путь (I, r) класса удовлетворяющие условиям: и является гомеоморфизмом.

Пусть (I, r) называется параметризацией линии . Линия называется элементарной, если существует такая её параметризация (I, r), что r(I)= . Если (I, r) и (J, с) - две параметризации линии , то пути (I, r) и (J, с) являются эквивалентными.

Если подмножество l содержится в некоторой плоскости, то линия l называется плоской.

Пусть M - некоторая точка линии l, (I, r) - параметризация l такая, что M=r(t). Касательной прямой линии l в точке M называется прямая, проходящая через точку M и имеющая своим направляющим вектором вектор r(t). Аналогично определяется касательная прямая для кривой и для пути. Пусть r=r(s) --натуральная параметризация кривой (или линии). Тогда вектор r"(s) называется вектором кривизны кривой (линии) в точке s, а его длина | r"(s) | --кривизной и обозначается k(s) (или к).

Соприкасающейся плоскостью бирегулярной кривой (линии) в точке t0 называется плоскость, проходящая через точку и имеющая своими направляющими векторами векторы и .

Для натуральной параметризации r=r(s) бирегулярной кривой (линии) вектор r(s) ортогонален касательной в соответствующей точке. Соприкасающейся окружностью бирегулярной кривой (линии) в точке s этой кривой (линии) называется окружность радиуса , лежащая в соприкасающейся плоскости и центром которой является точка

.

Репером Френе ориентированной бирегулярной кривой (линии) r=r(s) в точке s называется ортонормированный репер (r(s); t(s), n(s), b(s)), где t(s)=r(s), и тройка векторов (t(s), n(s), b(s)) - правая.

Замечание: мы в дальнейшем не будем различать понятия кривой и линии.