2.2 Особые точки

В этом параграфе мы предполагаем, что функция F(х,у) непрерывно дифференцируема три раза по обоим аргументам.

Условие регулярности кривой (1) нарушается в точках, где обе частные производные первого порядка равны нулю:

.

Следовательно, подлежат исследованию точки, координаты которых удовлетворяют трем уравнениям: (1), (7). Если в такой точке не все производные 2-го порядка равны нулю, то точка называется двойной.

1. Касательные в двойной точке.

Допустим, что через двойную точку M0(x0,у0) проходит простая дуга кривой, определяемая уравнениями (**), где

.

Внося значения (**) в уравнение (1), мы получим в окрестности точки М0(х0, у0) тождество, которое можно дифференцировать по t.

Дифференциал второго порядка принимает вид:

.

Внося сюда значения x = x0, y=y0 заметим, что последние два члена пропадут, и мы получим:

,

где

.

Следовательно, через двойную точку М0 может проходить не более двух ветвей кривой с угловыми коэффициентами касательных , определяемыми уравнением (8).

2. Изолированная точка.

Теорема 1. Если дискриминант

,

то в достаточно малом круге с центром M0, кроме этой точки, нет других, координаты которых удовлетворяли бы уравнению (1).

Особая точка называется изолированной.

Доказательство: по теореме Тэйлора, поскольку функции F, Fx, Fy в точке М0(х0, y0) обращаются в нуль, уравнение (1) преобразуется к виду:

,

где a*, b*, c* являются значением вторых производных (8) в точке

 .

Дискриминант

,

как непрерывная функция аргументов х*, у*, имеющая положительное значение а в точке М0, сохранит положительный знак в достаточно малой окрестности этой точки (круг достаточно малого радиуса).

Следовательно, квадратный трехчлен в левой части (9) сохраняет знак во всей окрестности, и уравнение

в окрестности точки M0 имеет единственное решение x0, y0.

3. Точка самопересечения.

Теорема 2. Если H < 0, то через точку M0 проходят две простые дуги с различными касательными.

Особая точка -- точка самопересечения (узел).

В этом случае трехчлен (8) имеет два действительных различных корня: k1 и k2 следовательно, при имеем:

Тогда, полагая

,

внося это в уравнение (1) и разлагая по формуле Тэйлора по степеням получим по сокращении на уравнение:

,

где функция

,

непрерывно дифференцируемая, а при -- ограниченная функция.

Согласно условию теоремы существования , выбираем для (10.2) начальную точку , u=k1 (или k2) с тем расчетом, чтобы удовлетворить уравнению (10.2) и по формулам (10.1) получить для этих значений и и координаты х0, у0. точки М0.

Дифференцируя равенство (10.3) частным образом по и и подставляя , получим:

.

Таким образом, условия теоремы существования удовлетворены, откуда следует существование двух непрерывно дифференцируемых функций:

,

удовлетворяющих уравнению (10.2) и принимающих для значения u =k1 и u = k2. Отсюда по формулам (10.1) получим уравнения двух линий, проходящих через точку М0(х0,у0), с угловыми коэффициентами касательных k1 и k2 и представляющих каждая простую дугу.