Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности

Пусть , где , , причём функции , , дифференцируемы. Тогда производная сложной функции вычисляется по формуле

. (1)

Если , где , то полная производная от по находится по формуле

. (2)

Если же , где , , то частные производные выражаются так:

и . (3)

Производная неявной функции , заданной с помощью уравнения , где – дифференцируемая функция переменных и , может быть вычислена по формуле

при условии .

Производные высших порядков неявной функции можно найти последовательным дифференцированием указанной формулы, рассматривая при этом как функцию от .

Аналогично, частные производные неявной функции двух переменных , заданной с помощью уравнения , где – дифференцируемая функция переменных , и , могут быть вычислены по формулам и при условии .

Если поверхность задана уравнением и в точке частные производные , , конечны и не обращаются в нуль одновременно, то уравнение касательной плоскости к поверхности в точке записывается в виде

,

а уравнение нормали к поверхности в этой же точке – в виде

.

Если же уравнение поверхности задано явным образом: и в точке частные производные , конечны (и могут быть равны нулю одновременно), то уравнение касательной плоскости в точке записывается в виде

,

а уравнение нормали – в виде

.

Равенство нулю, например , означает, что касательная плоскость параллельна оси , а нормаль лежит в плоскости .