1.2 Касательные кривой. Соприкасающаяся плоскость

Опр. 1: Если в пространстве задана прямоугольная система координат , то гладкая линия класса Ck может быть задана параметрическим уравнениями наз. касательной.

,

Опр. 2. Пусть г--кривая, Р--точка на ней и g--прямая, проходящая через точку Р. Возьмем на кривой точку Q, близкую к Р, и обозначим ее расстояния от точки Р и прямой d через д соответственно (рис. 3). Мы будем называть прямую g касательной к кривой г в точке Р, если >0, когда Q > Р.

Теорема 1. Определение 1 эквивалентно определению 2.

Если кривая г в точке Р имеет касательную, то прямая PQ при Q > Р сходится к этой касательной. Обратно, если прямая PQ при Q >Р сходится к некоторой прямой, то эта прямая является касательной. Для доказательства этого утверждения достаточно заметить, что есть синус угла, образуемого прямыми g и PQ.

Гладкая кривая г имеет в каждой точке касательную, и притом единственную. Если

- векторное уравнение кривой, то касательная в точке P, соответствующей значению параметра t, имеет направление вектора

Соприкасающаяся плоскость кривой.

Пусть г - кривая и Р--точка на ней, б -- плоскость, проходящая через точку Р. Обозначим через d расстояние точки Q кривой от точки P, а через д -- расстояние ее от плоскости б. Мы будем называть плоскость б соприкасающейся плоскостью кривой г в точке P, если отношение >0, когда Q>P (рис. 4).

Теорема 2.

Дважды дифференцируемая кривая г в каждой точке имеет соприкасающуюся плоскость. При этом она либо единственная, либо любая плоскость, содержащая касательную кривой, является соприкасающейся.

Если

-- уравнение кривой, то соприкасающаяся плоскость параллельна векторам и .

Каждая прямая, проходящая через точку кривой перпендикулярно касательной, называется нормалью кривой. Среди этих прямых в случае, когда соприкасающаяся плоскость единственная, выделяются две нормали: главная нормаль - нормаль, лежащая в соприкасающейся плоскости, и бинормаль - нормаль, перпендикулярная соприкасающейся плоскости.