2.3 Примеры точки возврата

Чтобы показать, как исследуется особая точка в более сложном случае, рассмотрим кривую

Если обозначить через F(x, у) левую часть уравнения, то, дифференцируя, получим:

.

Откуда единственное общее решение трех уравнений: F=0,Fx=0, Fy=0: X=0, y=0.

Далее:

,

и уравнение (8)

.

Если существует дуга кривой, проходящая через начало О(0,0), то она имеет в этой точке касательную прямую x = 0, но Н=0, и теоремы § 2 неприменимы.

В окрестности начала О (0, 0) текущие координаты х,у будут бесконечно малыми и порядок малости х (расстояние от касательной) выше, чем порядок малости у, который примем равным единице. Отбрасывая в уравнении (а) бесконечно малые выше 3-го порядка, можно аппроксимировать линию (а) в окрестности начала уравнением

.

Отсюда естественно ввести подстановку

,

где и -- новая неизвестная функция. Подставляя в уравнение (а) и сокращая на у3, получим для определения и, как функции от у, уравнение:

.

Начальную точку следует искать с координатами у=0, и = и0, чтобы ей соответствовало по формуле (b) начало координат; после подстановки в уравнение (c), получим:

.

Значит, следует выбрать

.

Поскольку

условия теоремы существования удовлетворены, существование двух решений:

,

принимающих для у = 0 значения

,

доказано. Отсюда следует, что в окрестности начала имеются две ветви кривой:

.

Чтобы корень был действительным, надо брать отрицательные значения у; поскольку в окрестности начала положительно, а -- отрицательно, координата х точек первой линии будет получать отрицательные значения, второй -- положительные.