1.4 Плоская кривая. Эволюта и эвольвента плоской кривой

Пусть г - регулярная (трижды дифференцируемая) кривая, заданная уравнением . Отложим из произвольной точки P кривой на ее нормали отрезок, равный радиусу кривизны в направлении вектора . Конец этого отрезка называется центром кривизны кривой. Такое название связано с тем, что окружность с этим центром и радиусом имеет с кривой в точке P соприкосновение третьего порядка, т.е. расстояние точки кривой от окружности имеет третий порядок малости по сравнению с расстоянием точки P. Напомним, что касательная имеет с кривой соприкосновение второго порядка.

Геометрическое место центров кривизны кривой, если оно является кривой, называется эволютой.

Теорема 4.

Эволюта является огибающей нормалью кривой.

Доказательство:

Уравнение эволюты:

.

Касательный вектор эволюты

.

Таким образом, он направлен по нормали данной кривой. А следовательно, эта нормаль является касательной эволюты. Это значит, что эволюта кривой является огибающей её нормалей.

Заметим, что если , то длина эволюты равна

т.е. равна разности радиусов кривизны в концах отрезка.

Определим теперь эвольвенту кривой. Пусть кривая задана в естественной параметризации. Отложим из точки кривой на её касательной отрезок длины |s| в направлении вектора , если s < 0, и в противоположном направлении, если s > 0. Кривая, которую описывает конец этого отрезка, называется эвольвентой кривой.

Наглядно образование эвольвенты можно представить следующим образом. Представим себе нерастяжимую нить, закрепленную одним концом на кривой и намотанную на кривую. Если эту нить, оттягивая за свободный конец, сматывать с кривой, то этот конец описывает эвольвенту кривой.

Данная кривая является эволютой для её эвольвенты. Действительно, уравнение эвольвенты

.

Касательный вектор эвольвенты

.

Отсюда следует, что касательная кривой является нормлью к эвольвенте. А значит, данная кривая является эволютой для эвольвенты.

Эволюта и эвольвента имеют форму эвольвент окружности.