2.5 Полярные координаты

В полярных координатах обычно рассматривают кривые, заданные уравнением вида

,

где - полярный радиус-вектор и - полярный угол.

Эту кривую можно определить параметрическими уравнениями в декартовой системе координат, полагая

и принимая за независимый параметр .

Отсюда для углового коэффициента касательной получаем:

Или, деля на :

.

Если же положить

,

,

.

Отсюда геометрическое значение угла (рис. 6): есть угол касательной с полярным радиусом вектором.

Аналогично, дифференцируя уравнение (11) и внося в основную формулу , получим:

.

Наконец, по формуле (кривизна в точке) и (13) получим для кривизны в полярных координатах выражение:

.