2. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме
2.1 Задание линии уравнением F(x,y)=0
кривая касательная эволюта асимптота
Рассмотрим геометрическое место точек M(х,у), координаты которых удовлетворяют уравнению:
,
где функция F(x, у) непрерывно дифференцируема по обоим аргументам в области U на плоскости xy.
Для того чтобы можно было утверждать, что это геометрическое место точек в окрестности некоторой точки М0 области U образует линию (простую дугу), надо задать начальную точку М0(х0, у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1) и не обращают в нуль одновременно обе частные производные:
Действительно, если, например, , то, существует решение
,
которое определяет простую дугу кривой, проходящую через точку М0(х0, у0) и принадлежащую геометрическому месту точек (1).
Теорема 1.
Уравнение
,
где F(x,y)- функция, допускающая в области U плоскости непрерывные частные производные по обоим аргументам, не обращающиеся одновременно в нуль, определяет в этой власти регулярный кусок кривой, если найдется в ней хотя бы одна точка М0(х0,у0), координаты которой, удовлетворяют уравнению.
Действительно, геометрическое место точек (1) не пустое, ибо содержит точку M0; в каждой его точке условие (2) удовлетворено, следовательно, в окрестности этой точки геометрическое место (1) представляет простую дугу, а такая линия называется регулярным куском кривой.
По формуле угловой коэффициент касательной при условии определяется отношением:
,
откуда уравнение касательной пишется в виде:
Если Fy=0, то касательная параллельна оси ординат, ибо в этом случае существует производная , и равна нулю. Уравнение (5) сохраняет силу. Уравнение нормали, как прямой, перпендикулярной к касательной в точке касания, имеет вид:
- Введение
- 1. Основные понятия теории кривых
- 1.1 Понятие кривой. Регулярная кривая. Особые точки кривой
- 1.2 Касательные кривой. Соприкасающаяся плоскость
- 1.3 Кривизна кривой
- 1.4 Плоская кривая. Эволюта и эвольвента плоской кривой
- 2. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме
- 2.2 Особые точки
- 2.3 Примеры точки возврата
- 2.4 Асимптоты
- 2.5 Полярные координаты
- 2.6 Понятие кривой и линии
- 3. Решение задач
- Заключение
- 3 Касательная к поверхности, заданной неявно
- 4.1. График неявно заданной функции одной переменной
- 4.2. Обратная функция. Функция, заданная неявно
- Дифференцирование функций, заданных неявно
- Уравнение касательной плоскости поверхности, заданной неявно
- Вопрос № 43: Понятие о функциях, заданных неявно:
- Определение линии пересечения плоскостей, заданных следами.
- Производная сложной и неявно заданной функции нескольких переменных. Касательная плоскость и нормаль к поверхности