Исследование линий на плоскости, заданных неявно

курсовая работа

2. Кривые на плоскости, заданные уравнением в неявной форме

2.1 Задание линии уравнением F(x,y)=0

кривая касательная эволюта асимптота

Рассмотрим геометрическое место точек M(х,у), координаты которых удовлетворяют уравнению:

,

где функция F(x, у) непрерывно дифференцируема по обоим аргументам в области U на плоскости xy.

Для того чтобы можно было утверждать, что это геометрическое место точек в окрестности некоторой точки М0 области U образует линию (простую дугу), надо задать начальную точку М0(х0, у0), координаты которой удовлетворяют уравнению (1) и не обращают в нуль одновременно обе частные производные:

Действительно, если, например, , то, существует решение

,

которое определяет простую дугу кривой, проходящую через точку М0(х0, у0) и принадлежащую геометрическому месту точек (1).

Теорема 1.

Уравнение

,

где F(x,y)- функция, допускающая в области U плоскости непрерывные частные производные по обоим аргументам, не обращающиеся одновременно в нуль, определяет в этой власти регулярный кусок кривой, если найдется в ней хотя бы одна точка М0(х0,у0), координаты которой, удовлетворяют уравнению.

Действительно, геометрическое место точек (1) не пустое, ибо содержит точку M0; в каждой его точке условие (2) удовлетворено, следовательно, в окрестности этой точки геометрическое место (1) представляет простую дугу, а такая линия называется регулярным куском кривой.

По формуле угловой коэффициент касательной при условии определяется отношением:

,

откуда уравнение касательной пишется в виде:

Если Fy=0, то касательная параллельна оси ординат, ибо в этом случае существует производная , и равна нулю. Уравнение (5) сохраняет силу. Уравнение нормали, как прямой, перпендикулярной к касательной в точке касания, имеет вид:

Делись добром ;)