3. Решение задач

Построить кривую (овал)

Решение. Уравнение (a) содержит только квадраты переменных x и y; следовательно, левая часть уравнения не меняется при перемене знака координаты x и y. Отсюда следует, что кривая симметрична относительной осей координат, ибо для каждой точки кривой M1(x1,y1) найдутся еще три такие точки M2(x1,-y1), M3(-x1,y1), M4(-x1, -y1).

Кривая вся помещается в конечной части плоскости. Действительно, деля уравнения на x2+y2 получим:

.

Если х2+у2 станет больше единицы, то последнее слагаемое правой части будет меньше, чем а4, и так как абсолютная величина разности двух положительных чисел всегда меньше их суммы, то

,

и, следовательно, во всяком случае

,

т.е. расстояние точки M(x, y) от начала - конечно.

Дифференцируя левую часть уравнения

по x и по y, имеем:

,

и угловой коэффициент касательной :

отсюда следует, что касательная параллельна оси ординат только в точках пересечения кривой с осью абсцисс , ибо второй множитель знаменателя как сумма трех квадратов всегда положителен. Внося значение y = 0 в уравнение (а), получим:

,

откуда только два действительных корня

.

Кривая пересекает ось абсцисс только в двух точках.

Угловой коэффициент (b) обращается в нуль в двух случаях.

Касательная будет параллельна оси абсцисс в точках пересечения с осью ординат .

Решая это уравнение совместно с уравнением кривой (а), получим опять только два действительных корня:

.

Кроме того, касательная будет параллельна оси при обращении в нуль второго множителя числителя

.

Внося отсюда значение в уравнение (a), получим:

,

Откуда

.

Четыре комбинации знаков дадут четыре симметрично расположенные точки.

Получаем таблицу опорных точек (рис. 7).

Построить кривую

.

Решение. Уравнение (а) содержит только один член с третьей степенью и этот член имеет коэффициентом единицу. Следовательно, нет асимптот, параллельных оси х. Действительно, деля на х3, имеем:

.

Переходя к пределу и предполагая, что при этом у сохраняет конечное значение, придем к невозможному равенству 1=0.

Зато уравнение содержит два члена с высшей степенью y2. Деля на y2 и переходя к пределу предполагая, что х сохраняет конечное значение, получим в пределе .

Это и будет уравнение асимптоты, параллельной оси ординат. Дифференцируя левую часть уравнения

по x и по y, получим

.

Мы видим, что Fx как сумма трех положительных чисел не обращается в нуль. Следовательно, кривая не имеет касательных, параллельных оси абсцисс.

Производная Fy обращается в нуль при х=1; это соответствует найденной асимптоте. Кроме того, F обращается в нуль и касательная становится параллельной оси у при пересечении оси кривой с осью абсцисс y=0. Уравнение (а) при этом принимает вид:

Второй множитель, очевидно, отличен от нуля (сумма положительных чисел), а первый показывает, что кривая пересекает ось абсцисс в начале координат, касаясь, следовательно, оси ординат.

Мы еще не имеем общего правила отыскания асимптот, не параллельных осям координат, но в данном случае можно показать отсутствие других асимптот чрезвычайно просто. Уравнение (а) может быть разрешено относительно у2:

.

Так как в левой части стоит квадрат, то правая часть должна быть положительна. Второй множитель числителя, x2+1, всегда положителен. Значит, должно быть:

 или , или .

Отсюда следует, что х не может быть отрицательным (ибо отрицательное число -- меньше всякого положительного числа) и, значит, x<1 (чтобы было больше единицы).

Итак, кривая существует только для значений х в интервале

Следовательно, абсцисса х не может расти до бесконечности.

Построить кривую

Решение. Асимптоты , . Первые две не имеют общих точек с кривой (кроме несобственной), последняя пересекает кривую в начале. Это - единственная общая точка кривой с осями координат; кривая имеет в начале точку перегиба (абсцисса меняет знак вместе с ординатой), касаясь оси ординат. Кроме того кривая имеет касательные, параллельные оси ординат, в точках

Построить кривую

.(a)

Решение. Так как уравнение кривой не содержит свободного члена и членов первой степени, то начало координат -- особая точка. Пара касательных вначале определяется уравнением x2+y2=0. Касательные мнимы. Особая точка -- изолированная.

Кривая имеет асимптоту, параллельную оси ординат x=1, ибо для этого значения х коэффициент при у2 обращается в нуль. Кроме того, она имеет две асимптоты, не параллельные осям координат. Действительно, если разделить уравнение (а) на x3 и перейти к пределу , то получим для уравнение

т.е.

С другой стороны, внося

в уравнение (а) и помня, что k2 = 1 получим:

,

откуда при и имеем:

ибо .

Значит, кривая имеет две асимптоты:

Они пересекают кривую в общей точке x=-1, у=0.

Так как уравнение (а) содержит у только в квадрате, то кривая симметрична относительно оси х. С другой стороны, разрешая уравнение относительно у2

видим, что ордината будет действительной, кроме начала координат, только вне отрезка

ю

Единственное исключение -- особая точка x=0, у=0, откуда еще раз видно, что эта точка -- изолированная.

Дифференцируя, имеем:

Откуда

Касательная параллельна оси ординат, если

1) y=0 или 2) x=1.

В первом случае мы найдем, кроме особой точки (0, 0), точку пересечения асимптот х=-1, у =0; во втором мы придем к несобственной точке.

Касательная параллельна оси абсцисс, если

Внося это значение в уравнение (а) и сокращая на х (что соответствует исключению особой точки), получим:

откуда:

.

Только первый корень приводит к действительному значению ординаты у.

Имеем таблицу опорных точек (рис. 9):