2.4 Асимптоты

Для отыскания асимптот, параллельных оси координат надо искать предельное значение ординаты y=b при . Если кривая -- алгебраическая и F(x у) -- многочлен, то достаточно приравнять к нулю коэффициент при старшей степени х. Если полученное уравнение допускает решение y=bi, то оно даст все асимптоты:

.

Действительно, если собрать члены с одинаковыми степенями xx и записать уравнение кривой в виде

,

то, деля люе части уравнения на xp:

и переходя к пределу при , , заметим, что все функции обратятся в и сохранят конечные значения, следовательно, все члены уравнения, имеющие делителем х, обратятся в нуль, и для определения b мы получим уравнение

.

Чтобы найти асимптоты, не параллельные осям координат:

,

надо найти пределы

.

Полагая

И исключая ординату, мы получаем уранение:

надо найти

.

Аналогично, полагая

,

исключаем из уравнения F(x, у)=0 ординату у. Поскольку k известно, получаем уравнение:

и снова имеем:

.