1.1 Понятие кривой. Регулярная кривая. Особые точки кривой

Понятие кривой.

Понятие преобразования фигуры (множества точек) известно из элементарной геометрии. Если каждую точку фигуры F сместить каким-нибудь образом, то мы получим новую фигуру F. Говорят, что она получена преобразованием из фигуры F. Преобразование фигуры F переводит близкие точки фигуры F в близкие точки фигуры F?. Это значит, что если точка X фигуры F переходит в точку X? фигуры F?, то каково бы ни было ?е > 0, существует д > 0 такое, что любая точка Y фигуры F, которая отстоит от X на расстоянии меньшем д, переходит в точку фигуры F, которая отстоит от X на расстоянии меньшем е. Преобразование, переводящее различные точки фигуры F в различные точки фигуры F, называется топологическим, если это преобразование и обратное к нему преобразование фигуры F в F непрерывны. Преобразование фигуры называется локально топологическим, если оно является топологическим в достаточно малой окрестности каждой ее точки.

Дадим теперь несколько определений, относящихся к понятию кривой. Элементарной кривой мы будем называть фигуру, полученную топологическим преобразованием открытого отрезка. Простой кривой будем называть фигуру, каждая точка которой имеет пространственную окрестность такую, что часть фигуры, содержащаяся в этой окрестности, является элементарной кривой (рис. 1). Общей кривой мы будем называть фигуру, полученную локально топологическим преобразованием простой кривой. Общая кривая на рисунке 2 получается локально топологическим преобразованием окружности.

Ввиду таких определений, изучение любой кривой "в малом" сводится к изучению элементарной кривой. Пусть г - элементарная кривая, являющаяся топологическим преобразованием отрезка AB. Если на прямой AB как на числовой оси ввести координату t, то преобразование отрезка AB в кривую г можно задать уравнениями

где - непрерывные функции, причем для различных значений t и t"

Уравнения (*) мы будем называть уравнениями кривой г в параметрической форме (t -- параметр). Элементарная кривая допускает различные задания в параметрической форме. Например, кривую г можно задать уравнениями:

где -- любая непрерывная строго монотонная функция от .

Регулярная кривая.

Кривую г мы будем называть регулярной (k раз дифференцируемой), если она допускает регулярную параметризацию, т. е. задание уравнениями в параметрической форме

где - регулярные (k раз дифференцируемые) функции удовлетворяющие условию

При k=1 кривая называется гладкой.

Кривая называется аналитической, если она допускает аналитическую параметризацию (функции -- аналитические).

Некоторые кривые при подходящем выборе осей координат допускают параметрическое задание вида

или, что то же,

Эта параметризация иногда оказывается очень удобной для исследования кривой. В связи с этим возникает вопрос: когда кривая хотя бы "в малом" допускает такую параметризацию? Ответ на этот вопрос дает следующее предположение.

Теорема 1.

Пусть г - регулярная кривая,

- ее регулярное параметрическое задание в окрестности точки , соответствующей , то в достаточно малой окрестности точки кривая может быть задана уравнениями

где - регулярные функции от x.

Особые точки кривой.

Пусть г - кривая и Р--точка на ней. Точка Р называется обыкновенной точкой, если в окрестности этой точки кривая допускает гладкую параметризацию:

Если такой параметризации не существует, точка называется особой. Вопрос об особых точках плоской кривой во многих практически важных случаях решает следующее предположение.

Теорема 2.

Пусть г - кривая, заданная уравнениями в параметрической форме:

Тогда точка Р кривой будет обыкновенной точкой, если в этой точке первая отличная от нуля производная функций и нечетная. Точка Р будет особой, если первая отличная от нуля производная будет четной.