1.2 Определители матрицы. Свойства определителей, их вычисление

Пусть дана квадратная матрица второго порядка:

.

Определителем (или детерминантом) второго порядка, соответствующим данной матрице, называется число . Обозначается

(определитель второго порядка равен разности попарных произведений элементов главной и побочной диагоналей.)

Пример:

1) Вычислить

Решение:

2) Упростить выражение

Решение:

Пусть дана квадратная матрица третьего порядка

Определителем (или детерминантом) третьего порядка, соответствующим данной матрице, называется число

Определитель третьего порядка записывается так:

При вычислении определителей третьего порядка удобно пользоваться правилом треугольников (правилом Сарруса). Это правило можно проиллюстрировать на схеме:

Три положительных члена определителя представляют собой произведения элементов главной диагонали (а₁₁•а₂₂•а₃₃) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны главной диагонали (а₁₂•а₂₃•а₃₁ и а₂₁•а₃₂•а₁₃). Три отрицательных его члена есть произведения элементов побочной диагонали (а₁₃•а₂₂•а₃₁) и элементов, находящихся в вершинах двух равнобедренных треугольников, основания которых параллельны побочной диагонали (а₁₂•а₂₁•а₃₃ и а₁₁•а₂₃•а₃₂)

Пример:

Вычислить

Решение:

Свойства определителей

1. Определитель не изменится, если его строки поменять местами с соответствующими столбцами (т.е. транспонировать)

Пример:

2. При перестановке двух строк (или столбцов) определитель изменит свой знак на противоположный

Пример:

,

3. Общий множитель всех элементов строки (или столбца) можно вынести за знак определителя

Пример:

4. Определитель с двумя одинаковыми строками или столбцами равен нулю

Пример:

5. Если все элементы двух строк (или двух столбцов) определителя пропорциональны, то определитель равен нулю

Пример:

6. Треугольный определитель, у которого все элементы, лежащие выше (или ниже) главной диагонали, - нули, равен произведению элементов главной диагонали

Минором М_ij элемента а_ij определителя называется такой новый определитель, который получается из данного определителя вычеркиванием i-строки и j-столбца.

Например, минор М₁₂, соответствующий элементу а₁₂ определителя

получается, если вычеркнуть из определителя первую строку и второй столбец, т.е.

Пример:

Дано:

Найти: М₂₁, М₃₂.

Решение:

,

Алгебраическим дополнением элемента а_ij определителя D называется минор М_ij этого элемента, взятый со знаком (-1) ^i+j. Тогда

Пример:

Дано:

Найти: алгебраические дополнения А₁₂, А₂₃, А₃₃.

Решение:

,

,

,