2.1 Понятие производной функции

При изучении тех или иных процессов и явлений часто возникает задача определения скорости этих процессов. Ее решение приводи к понятию производной, являющемуся основным понятием дифференциального исчисления.

Пусть материальная точка М движется неравномерно по некоторой прямой. Каждому значению времени t соответствует определенное расстояние OM = S до некоторой фиксированной точки О. Это расстояние зависит от истекшего времени t, т.е. S = S (t).

Это равенство называют законом движения точки. Требуется найти скорость движения точки.

Если в некоторый момент времени t точка занимает положение М, то в момент времени ( - приращение времени) точка займет положение М₁, где ( - приращение расстояния).

Таким образом, перемещение точки М за время будет

.

Отношение выражает среднюю скорость движения точки за время :

Средняя скорость зависит от значения : чем меньше , тем точнее средняя скорость выражает скорость движения токи в данный момент времени .

Предел средней скорости движения при называется мгновенной скоростью движения

Этот предел называют производной функции S (t) и обозначают:

Определение: Производной функции в точке называется предел отношения приращения функции к приращению аргумента, когда приращение аргумента стремится к нулю

Функция , имеющая производную в каждой точке интервала , называется дифференцируемой в этом интервале; операция нахождения производной функции называется дифференцированием.

Пример: Найти производную функции

Решение:

1) Аргументу х даем приращение ;

2) Находим :

3) Составляем отношение :

4) Находим предел отношения :

. Итак,