1.4 Решение систем линейных уравнений в матричной форме

Пусть дана система уравнений

Если обозначить матрицу, составленную из коэффициентов при неизвестных

свободные члены и неизвестные записать в виде матриц-столбцов

и

тогда, используя правило умножения матриц, эту систему уравнений можно записать так:

илиА•Х = В

Это равенство называется простейшим матричным уравнением.

Такое уравнение решается следующим образом. Пусть матрица А невырожденная (), тогда существует обратная матрица А^-1. Умножив на нее обе части матричного уравнения, имеем

Используя сочетательный закон умножения, получим

Но так какА^-1•А = ЕиЕ•Х = Х,

получим

Х = А^-1•В

Т.к. систему линейных уравнений можно записать в виде матричного уравнения, то эту систему можно решить как матричное уравнение.

Пример: Решить систему уравнений в матричной форме

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение. Составим матричное уравнениеА•Х = В, где

,,

и найдем Х по формуле Х = А^-1•В

Для этого необходимо выполнить действия:

1. Найти А^-1

2. Найти произведение

1) Чтобы найти А^-1, надо выполнить четыре действия:

А₁₁ = 3, А₁₂ = - 6, А₁₃ = 3, А₂₁ = - 4, А₂₂ = 2, А₂₃ = - 1, А₃₁ = 2, А₃₂ = - 1, А₃₃ = - 4

составим матрицу

а) транспонируем ее, получим

б) умножим на . Получим

2) Найдем Х = А^-1•В

Итак, решение системы уравнений есть х₁ = 4, х₂ = 3, х₃ = 5

Ответ: (4; 3;5)