Максимум и минимум функций

Определение: Точка х₀ называется точкой максимума функции , если имеет место неравенство в некоторой окрестности точки х₀ (и точкой минимума, если выполняется неравенство )

Точки максимума и минимума называются точками экстремума, а значения функции в точках максимума и минимума называют максимумами или минимумами функций (экстремумами функции).

Теорема. (достаточное условие экстремума)

Если непрерывная функция дифференцируема в некоторой - окрестности точки х₀ и при переходе через нее (слева направо) производная меняет знак с "+" на "-", х₀ есть точка максимума; с "-" на "+", х₀ - точка минимума.

Схема исследования функции на экстремум:

1. Находят производную

2. Находят все критические точки из области определения функции, решив уравнение

3. Устанавливают знак производной функции при переходе через критические точки и выписывают точки экстремума

4. Вычисляют значения функции в каждой точке экстремума

Пример: Исследовать функцию на экстремум

Решение:

1)

2) ,

является точкой минимума, т.к. при переходе через эту точку производная меняет знак с "-" на "+".

3) Вычислим

Ответ: точка минимума

минимум