1.6 Решение систем линейных уравнений методом Гаусса

Метод Гаусса - это метод последовательного исключения неизвестных. Он состоит в следующем:

1. систему уравнений приводят к эквивалентной ей системе с треугольной матрицей. Эти действия называют прямым ходом.

2. из полученной треугольной системы переменных находят с помощью последовательных подстановок (обратный ход)

При выполнении прямого хода используют следующие преобразования:

1) умножение или деление коэффициентов свободных членов на одно и то же число,

2) сложение и вычитание уравнений,

3) перестановку уравнений системы,

4) исключение из системы уравнений, в которых все коэффициенты при неизвестных и свободные члены равны нулю.

Пример. Используя метод Гаусса, решить систему уравнений:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Решение. Переставим третье уравнение на место первого:

Размещено на http://www.allbest.ru/

Запишем расширенную матрицу

В следующей матрице первую строку оставим неизменной, а вторую и третью строки получим в результате умножения первой строки на 3, а затем на 2 и вычитанием поочередно первой и второй, а затем первой и третьей строк.

Разделим вторую строку на 8

Домножим вторую строку на 3 и из нее вычтем третью строку

Получили треугольную матрицу. Прямой ход выполнили.

Обратный ход: последнюю строку матрицы запишем в виде уравнения.

Получим:

,

Предпоследнюю строку матрицы запишем в виде

и подставим вместо z найденной значение 3

И далее, из первого уравнения получим

Итак, получили x = 1, y = 2, z = 3

Ответ: (1; 2;3)