1.2 Операции над матрицами

Суммой матриц А и В будем называть такую матриц, элементы которой равны сумме соответствующих элементов матриц А и В. Складывать можно только матрицы, имеющие одинаковые строение: или прямоугольные типа mn, или квадратные nn.

Примеры:

1) Дано:

,

Найти: А+В.

Решение:

2) Дано:

, .

Найти: А+В.

Решение:

Разность матриц выполняется аналогично, т.е. в результате вычитания двух матриц получается матрица элементы которой равны разности соответствующих элементов матриц.

Пример:

Дано:

, . Найти: А-В.

Решение:

Произведение матрицы А на число k называется такая матрица, каждый элемент которой равен k•a_ij.

Пример:

1) Дано:

Найти: 3•А.

Решение: Умножая каждый элемент матрицы А на 3, получим

2) Дано:

,

Найти: 2•А-В.

Решение: Найдем сначала 2•А

. Затем найдем

Определение: Произведением матрицы на матрицу называется матрица:

Итак, чтобы найти первый элемент новой матрицы с₁₁, который расположен в первой строке и первом столбце, надо каждый элемент первой строки матрицы А (т.е. а₁₁ и а₁₂) умножить на соответствующий элемент первого столбца матрицы В (т.е. b₁₁ и b₂₁) и полученные произведения сложить: . Далее, чтобы найти элемент с₁₂, расположенный в первой строке второго столбца, надо умножить все элементы первой строки матрицы А (т.е. а₁₁ и а₁₂) на соответствующие элементы второго столбца матрицы В (т.е. b₁₂ и b₂₂) и полученные произведения сложить: и т.д.

Пример:

Дано:

,

Найти: А•В.

Решение:

Правило умножения матриц распространяется на умножение прямоугольных матриц.

Справедливы следующие правила:

1) умножение матрицы А на матрицу В имеет смысл только тогда, когда число столбцов матрицы А равно числу строк матрицы В.

2) в результате умножения двух прямоугольных матриц получится матрица, содержащая столько строк, сколько строк в первой матрице, и столько столбцов, сколько столбцов во второй матрице.

Пример:

Дано:

,

Найти: А•В.

Решение:

Свойства умножения матриц:

А•В ? В•А

А• (В•С) = (А•В) •С

(А+В) •С = А•С+В•С