1.3 Обратная матрица, вычисление обратных матриц второго и третьего порядков

Квадратная матрица А называется вырожденной, если ее определитель равен нулю, и невырожденной, если ее определитель не равен нулю.

Если А - квадратная матрица, то обратной по отношению к А называется матрица, которая, будучи умноженной на А (как справа, так и слева), дает единичную матрицу.

Обозначив обратную матрицу через А^-1, запишем

Если обратная матрица А^-1 существует, то матрица А называется обратимой.

Нахождение обратной матрицы имеет большое значение при решении систем линейных уравнений и в вычислительных методах линейного программирования.

Теорема. Для того, чтобы квадратная матрица А имела обратную, необходимо и достаточно, чтобы матрица А было невырожденной, т.е. чтобы ее определитель был отличен от нуля.

При условии обратная матрица находится по формуле

Схема нахождения обратной матрицы:

1. Находят определитель D матрицы А.

2. Находят алгебраические дополнения всех элементов а_ij матрицы А и записывают новую матрицу из алгебраических дополнений

3. Транспонируют полученную матрицу (т.е. меняют, местами строки со столбцами)

4. Умножают полученную матрицу на число . Пример:

Дано: матрица

Найти: обратную матрицу А^-1. Решение: А^-1 (обратную матрицу) найдем по схеме

Т.к. , то данная матрица является невырожденной и, следовательно, существует обратная матрица

Найдем алгебраические дополнения каждого элемента:

,

,

,

Транспонируем эту матрицу, получим

Умножив полученную матрицу на число , т.е. на , получим

Можно выполнить проверку и убедиться, что

Пример:

Дано:

Найти: матрицу, обратную данной.

Решение:

Т.к. , матрица А невырожденная и, значит, можно найти А^-1.

Найдем алгебраические дополнения всех элементов матрицы А:

,,

,

,,

,

,,

Запишем новую матрицу

1. Транспонируем полученную матрицу:

2. Умножим полученную матрицу на