Выпуклость и вогнутость графика функций

Определение: Кривая называется выпуклой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена под своей касательной в точке . Кривая называется вогнутой в точке , если в некоторой окрестности этой точки она расположена над своей касательной в точке .

Теорема. (признак выпуклости, вогнутости)

Если на данном промежутке, то кривая вогнутая, а если то кривая выпуклая на данном промежутке.

Алгоритм нахождения интервалов выпуклости, вогнутости графика функций

1. Найти , .

2. Решить уравнение .

3. Отметить полученные точки на числовом луче и установить знак второй производной на каждом интервале.

4. Используя признак выпуклости, вогнутости кривой, сделать вывод.

Примеры:

1) Найти промежутки выпуклости, вогнутости графика функции

Решение:

,

Т.к. для любого x, то кривая вогнутая на всей области определения

Найти промежутки выпуклости, вогнутости кривой

Решение:

,

Решим уравнение

1. кривая вогнута, на промежутке выпуклая, вогнутая

Определение: Точкой перегиба кривой называется такая точка, которая отделяет выпуклую часть кривой от вогнутой.

В последнем примере точки и являются точками перегиба.