3.5 Приложения определенного интеграла к вычислению площадей плоских фигур

Определение: Криволинейной трапецией называется фигура, ограниченная графиком непрерывной неотрицательной функции , , прямыми , и отрезком оси .

Геометрический смысл определенного интеграла состоит в том, что он равен площади криволинейной трапеции. Итак,

Рассмотрим основные типы задач на вычисление площадей плоских фигур

Примеры:

1) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями , , , .

Решение: Построим данную фигуру и вычислим

(кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.)

2) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и

Решение: Построим данную фигуру

Найдем точки пересечения параболы с :

,

,

, .

Найдем координаты вершины параболы ,

, . Итак, - вершина.

(кв. ед.). Ответ: (кв. ед.)

3) Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями и .

Решение: Построим сначала график функции с вершиной в точке и ветвями параболы, направленными вверх.

Затем построим график функции .

Найдем точки пересечения графиков функций. Для этого решим уравнение

,

,

Из рассмотренных четырех типов задач на нахождение площадей плоских фигур, данная задача относится к третьему типу, следовательно

(кв. ед.)

Ответ: (кв. ед.)

Правила оформления и выполнения контрольной работы

1. Выбор задач для контрольной работы осуществляется в соответствии со следующей таблицей по варианту, число которого совпадает с последней цифрой номера студента по списку в журнале.

2. Контрольная работа оформляется в тонкой тетради в клетку черными чернилами, оставляются поля для замечаний проверяющего. На обложке тетради указать: фамилию, имя, отчество студента, наименование дисциплины, номер группы и специальность, название отделение.

3. Решение задач следует располагать в порядке следования номеров в контрольной работе, записывая полностью условие задачи.

4. Перед началом выполнения работы необходимо изучить теоретический материал, изложенный в пособии, внимательно прочитать подробные решения типовых примеров и задач.

5. Решение задач контрольной работы оформить аккуратно, подробно объясняя ход решения.

6. После получения проверенной работы следует исправить в ней отмеченные ошибки и недочеты. Работа над ошибками выполняется в этой же тетради.

Задачи для контрольной работы

1 - 10 Решить систему линейных уравнений тремя способами

1) методом матричного исчисления

2) по формулам Крамера

3) методом Гаусса.

11 - 20 Вычислить производные функции

21 - 30 Исследуйте функции и постройте их графики

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

20.

31 - 40 Вычислить неопределенные интегралы

21. а) б)

22. а) б)

23. а) б)

24. а) б)

25. а) б)

26. а) б)

27. а) б)

28. а) б)

29. а) б)

30. а) б)

41 - 50 Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями

31. ,

32. ,

33. ,

34. , , ,

35. , , ,

36. , , ,

37. ,

38. ,

39. ,

40. и