§ 10. Проекции отрезка прямой линии

Положим, что даны фронтальные и горизонтальные проекции точек А и В

(рис. 45). Проведя через одноименные проекции этих точек прямые линии, мы

получаем проекции отрезка АВ -- фронтальную (А"В") и горизонтальную

(А'В¹)').

Можно ли утверждать, что такой чертеж (рис. 45) выражает именно отрезок

прямой линии? Да; если представить себе (рис. 46), что через А'В' и через

А"В" проведены проецирующие плоскости (т. е. перпендикулярные соответственно

к 1 и к 2), то в пересечении этих плоскостей получается прямая и ее

отрезок АВ. При этом точка, заданная своими проекциями на А'В' и на А"В",

принадлежит отрезку АВ.

На рис. 47 дан чертеж отрезка АВ в системе 1, 2, 3· Проекции А'" и

В'" построены так, как это было показано на рис. 18 для одной точки А.

Точки А и В находятся на разных расстояниях от каждой из плоскостей

1, 2 и 3, т. е. прямая АВ не параллельна ни одной из них. При этом ни

одна из проекций прямой не параллельна оси проекций и не перпендикулярна к

ней. Такая прямая называется прямой общего положения.

Рис. 45 Рис. 46 Рис. 47

Каждая из проекций меньше самого отрезка: А'В' < АВ, А"В" < АВ,

А'"В'" < < АВ. Обозначая углы между прямой и плоскостями 1; 2 и 3

соответственно через 1, 2 и 3, получим

А'В' = ABcos 1, А" В" = АВ cos 2, А'" В'" = ABcos 3.

Если А'В' = А"В" = А"'В'", то прямая образует с плоскостями проекций

равные между собой углы (~ 35°)¹); при этом каждая из проекций

прямой расположена

под углом 45° к соответствующим осям проек-ций или линиям связи между

проекциями.

Действительно, если (рис. 48) А'В" = А'В' и А'В' = А'"В'", то фигура

А"В"В'А' - равнобочная трапеция и В"1 = В'2, откуда В"'3 = А'"3, т. е. угол

А'"В"'3 = 45°, а так как фигура А"В"В'"А"' - параллелограмм, то каждый из

углов В"А"1 и В'А'2 равен 45°.

Как построить на чертеже без осей проекций, например, профильную

проекцию отрезка прямой линии? Построение показано на рис. 49, где слева дан

исходный чертеж отрезка АВ прямой общего положения, в середине показано

применение вспомогательной прямой, проведенной под углом 45°· к направлению

линии связи В"В', а справа -- построение в разности расстояний точек А и В

от пл. 2, т. е. по отрезку задавшись положением хотя бы проекции А'"

(на линии связи А"А'"), откладываем А'"2 = и, проведя из точки 2

перпендикуляр до пересечения с линией связи проекций В" и В'", находим

положение проекции В'".

Рис. 49

¹) Вывод см. в § 13.