§ 33. Способ перемены плоскостей проекций 1)

Общие сведения. Сущность способа перемены плоскостей

проекций²) заключается в том, что положение точек, линий, плоских

фигур, поверхностей в пространстве остается неизменным, а система 1, 2

дополняется плоскостями, образующими с 1 или 2, или между собой системы

двух взаимно перпендикулярных плоскостей, принимаемых за плоскости проекций.

Рис. 201¹) Мы применяем распространенное название "перемена

плоскостей проекций", но на самом деле плоскости проекций и - остаются и

лишь вводятся дополнительные плоскости проекций. ·

²) Впервые на русском языке способ перемены плоскостей

проекций был изложен И. И. Сомовым в его книге "Начертательная геометрия",

1862. Затем этот вопрос получил более подробное и углубленное освещение в

трудах Н. И. Макарова и В. И. Курдюмова.

Каждая новая система выбирается так, чтобы получить положение, наиболее

удобное для выполнения требуемого построения. .

В ряде случаев для получения системы плоскостей проекций, разрешающей

задачу, бывает достаточно ввести только одну плоскость, например 3% 1 или

4%2; при этом пл. 3 окажется горизонтально-проецирующей, а пл. 4

-фронтально-проецирующей. Если введение одной плоскости, 3 или 4, не

позволяет разрешить задачу, то прибегают к последовательному дополнению

основной системы плоскостей проекций новыми: например, вводят плоскость 3%

1, получают первую новую систему -- 3, 1, а затем от этой системы

переходят ко второй новой системе, вводя некоторую пл. 4% 3. При этом пл.

4 оказывается плоскостью общего положения в основной системе 1, 2. Таким

образом, производится последовательный переход от системы 1 2 к системе

3, 4 через промежуточную систему 3, 1.

Если "плоскости 3 и 4 все же не разрешают вопроса полностью, можно

перейти к третьей новой системе, вводя еще одну плоскость, перпендикулярную

к 4.

При построениях в новой системе плоскостей проекций соблюдаются те же

условия относительно положения зрителя, которые были установлены для системы

плоскостей 1 и 2 (см. § 7).

Ось проекций будем отмечать записью в виде дроби, считая, что черта

лежит на этой оси; обозначения плоскостей представляют собой как бы

числитель, и знаменатель дроби, причем каждая буква ставится по ту сторону

оси, где должны размещаться соответствующие проекции.

Введение в систему 1, 2 одной дополнительной плоскости проекций. В

большинстве случаев дополнительная плоскость, вводимая в систему 1, 2 в

качестве плоскости проекций, выбирается согласно какому-либо условию,

отвечающему цели построения. Примером может служить пл. 3 на рис. 77: так

как требовалось определить натуральную величину отрезка АВ и угол между АВ и

пл. 1, то пл. 3 была расположена перпендикулярно к пл. (образовалась

система 3, ) и || АВ.

На рис. 202 также выбор пл. 3 подчинен цели -- определить угол между

прямой CD и плоскостью проекций 2. Поэтому 3% 2 и в то же время пл. 3

параллельна прямой CD (ось 3/2% C"D"). Кроме искомого угла 2 определилась

и натуральная величина отрезка CD (ее выражает проекция C"'D"').

И в случае, изображенном на рис. 203, выбор пл. 3 вполне зависит от

задания: определить натуральный вид ABC. Так как в данном случае

плоскость, определяемая треугольником, перпендикулярна к пл. 2, то для его

изображения без искажения надо ввести в систему ,, 2 дополнительную

плоскость, отвечающую двум условиям: 3 % 2 (для образования системы 2,

з) и з II ABC (что дает возможность изобразить ABC без искажения). Новая

ось 2/3 проведена параллельно проекций А"С"В". Для построения проекции

A'"B'"C"" от новой оси отложены отрезки, равные расстояниям точек A', B' и С

от оси 2/ 1. Натуральный вид ABC выражается новой его проекцией

A'"B'"C'".

Рис. 202 Рис. 203

82

Примером построения, в котором выбор дополнительной пл. 3 не уточнен и

она может быть любой горизонтально-проецирующей, или

фронтально-проецирующей, или профильной плоскостью, лишь бы удобно было

строить на ней проекции, служит рис. 204. Цель построения - получить

проекции точки пересечения двух профильных прямых AB и СО, лежащих в общей

для них профильной плоскости'). На рис. 204 показана

горизонтально-проецирующая пл. П3 в качестве дополнительной плоскости

проекций.

Взаимное положение новых проекций A'."B'" и C'"D'" определяет взаимное

положение заданных прямых: в данном случае прямые между собой пересекаются.

Проекцией точки пересечения на пл. п3 является точка К'"; по ней находим

проекции К' и К".

Введение дополнительной плоскости проекций дает возможность, например,

преобразовать чертеж так, что плоскость общего положения, заданная в системе

ь, 2, становится перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций.

Пример дан на рис. 205, где дополнительная плоскость п3 проведена так, что

плоскость общего положения, заданная треугольником ABC, стала

перпендикулярной к пл. 3. Как же это получено?

В треугольнике ЛВС проведена горизонталь AD. Плоскость,

перпендикулярная к AD, перпендикулярна к ABC и в то же время к пл. 1, (так

как AD% 1). Этому удовлетворяет пл. 3, ABC. проецируется на нее в

отрезок В'"С"'. Если же плоскость общего положения задана следами (рик 206),

то пл. 3 следует провести перпенди-

') То, что прямые АВ и СО пересекаются, следует из сравнения положений

точек A и В, С и D.

83

кулярно к следу h^' о, т. е. к линии пересечения пл. и пл.

1. Тем самым пл. 3 окажется перпендикулярной к пл. 1 (т. е. явится

дополнительной плоскостью проекций) и к пл. . Теперь надо построить след

пл. на пл. п3. Так как %3, то проекция на пл. 3 любой точки пл.

получится на прямой пересечения пл. с пл. 3, т. е. на следе '". На рис.

206 такой точкой служит точка N, взятая на следе f"о; построена ее проекция

'" (" ="'), через которую, а также через точку пересечения следа

h^' о , с осью 3/1 проходит след '".

Построения на рис. 205 и 206 приводят к получению угла 1 наклона

заданных плоскостей к пл. 1. Если же взять пл. 3 (рис. 207),

перпендикулярную к пл. 2 и к плоскости, заданной треугольником ABC (для

чего надо провести ось 2/3 перпендикулярно к фронтали этой плоскости), то

определится угол 2 наклона плоскости ABC к пл. 2. ·

Введение в систему 1, 2 двух дополнительных плоскостей проекций.

Рассмотрим введение в систему 1, 2 двух дополнительных плоскостей проекций

на следующем примере.

Пусть требуется заданную в системе 1, 2 прямую общего положения АВ

расположить перпендикулярно к дополнительной плоскости проекций. Можно ли

достигнуть этого введением лишь одной дополнительной плоскости? Нет. Ведь

такая плоскость, будучи перпендикулярной к прямой общего положения, сама в

системе 1, 2 окажется плоскостью общего положения, т. е. не

перпендикулярной ни к 1, ни к 2. Но этим нарушится условие введения

дополнительных плоскостей проекций (см. с. 22).

Как же обойти это препятствие и применить все же способ перемены

плоскостей проекций? Надо придерживаться следующей схемы: от системы 1, 2

перейти к системе 3, 1( в которой 3% 1 и 3 || АВ, а затем перейти к

системе 3, 4, где 4% 3 и 4% АВ (рис. 208). Соответствующий чертеж дан

на рис. 209. Дело сводится к последовательному построению проекций А'" и

А^IV точки А, В'" и B^|V точки В. Прямая

общего положения в системе 1, 2 оказалась перпендикулярной к

дополнительной плоскости проекций 4 с переходом через промежуточную стадию

параллельности по отношению к первой дополнительной плоскости 3. Так как

пл. 3 расположена параллельно прямой АВ, то расстояния точек А и В от пл.

3 равны между собой и выражаются, например, отрезком А'2; взяв ось 3/4

перпендикулярно к А'"В'" (что соответствует в пространстве

перпендикулярности пл. 4 к прямой АВ) и отложив отрезок А ^IV3,

равный А'2, получаем обе проекции, А ^IV и B^IV, в одной

точке, т. е. то, что и должно получиться, если АВ% 4.

На рис. 210 дан пример построения натурального вида ABC. Здесь также

введены две дополнительные плоскости проекций 3 и 4, но по такой схеме:

3 % 1 и 3 % ABC, а 4 %3 и 4 || ABC. Заключительная стадия построения

свелась к проведению пл. 4 || пл. ABC (так как требовалось определить

натуральный вид ABC); промежуточной стадией была перпендикулярность

дополнительной плоскости 3 к пл. ABC. Эта промежуточная стадия повторяет

построение, показанное несколько раньше на рис. 205. В заключительной стадии

построения на рис. 210 ось 3/ 4 II С'" А'" В"', т. е. пл.

4 проведена параллельно пл. ABC, что и приводит к определению натурального

вида, выражаемого проекцией A ^IV B ^IV

C ^IV .

Итак, в этом примере, чтобы получить параллельность плоскости ABC и

пл. 4, потребовалось предварительно расположить взаимно перпендикулярно

ABC и пл. 3. Наоборот, в примере на рис. 209, чтобы получить

перпендикулярность (АВ% 4), предварительно потребовалось положение

параллельности (АВ || 3).

ВОПРОСЫ К §§ 32-33

1. Какие способы преобразования чертежа рассматриваются в главе V?

2. В чем заключается основное различие этих способов?

3. В чем заключается способ, известный под названием "способ перемены

плоскостей проекций"?

4. Какое положение в системе пг, л2 должна занять плоскость проекций

я-, вводимая для образования системы -к,, ,

5. Какое положение в системе ,, - займет плоскость проекций к, при

последовательных переходах от ,, - через тс,, тс, к тс,, л.,?

6. Как найти длину отрезка прямой линии и углы этой прямой с

плоскостями я· и ·,, вводя дополнительные плоскости проекций?

7. Сколько дополнительных плоскостей надо ввести в систему ,, п2,

чтобы определить натуральный вид фигуры, плоскость которой перпендикулярна к

пл. яц или к пл. ?

8. Сколько и в какой последовательности надо ввести дополнительных

плоскостей в систему it], я-, чтобы заданная прямая общего положения

оказалась перпендикулярной к дополнительной плоскости проекций?

' 9. Тот же вопрос, но в отношении получения натурального вида фигуры,

плоскость которой есть плоскость общего положения.