§ 15. О проекциях плоских углов

1. Если плоскость, которой расположен некоторый угол, перпендикулярна

к плоскости проекций, то он проецируется на эту плоскость проекций виде

прямой линии.

2. Если плоскость прямого угла не перпендикулярна к плоскости проекций

и хотя бы одна его сторона параллельна этой плоскости, то прямой угол

проецируется на нее в виде прямого же угла.

Положим, что сторона СВ прямого угла АСВ (рис. 89) параллельна

плоскости проекций. В таком случае прямая СВ параллельна Ѱ°. Пусть вторая

сторона (АС) прямого угла пересекает свою проекцию А°С° в точке К. Проводим

в плоскости проекций через точку К прямую параллельно Ѱ°. Прямая KL также

параллель-

') Для точек, принадлежащих скрещивающимся прямым и расположенных на

одной и той же проецирующей прямой, встречается название "конкурирующие".

37

на СВ, и угол CKL получается прямым. Согласно теореме о трех

перпендикулярах угол C°KL -- также прямой¹). Следовательно, и

угол А°С°В° -- прямой.

Этой теореме о проецировании прямого угла соответствуют две обратные

(пп. 3 и 4).

3. Если проекция плоского угла представляет собой прямой угол, то

проецируемый угол будет прямым лишь при условии, что по крайней мере одна из

сторон этого угла параллельна плоскости проекций.

4. Если проекция некоторого угла, у которого одна сторона параллельна

плоскости проекций, представляет собой прямой угол, то проецируемый угол

тоже прямой

Рис. 91 Рис. 92

На основании изложенного можно установить, что углы, изображенные на

рис. 90, в пространстве прямые.

В каком случае проекции прямого угла на двух плоскостях проекций

представляют собой прямые утлы? Это бывает, когда одна сторона прямого угла

перпендикулярна к третьей плоскости проекций (тогда другая его сторона

параллельна этой плоскости). Призер дан на рис. 91: сторона АС

перпендикулярна к 3, сторона ВС параллельна 3.

Пользуясь сведениями о·проецировании прямого угла, о дополнении системы

я,, 2 системой 4, (§ 8) и о расположении проекций прямой, параллельной

одной из плоскостей проекций (§ 11), мы можем выполнить следующее

построение: провести через некоторую точку А прямую так, чтобы она пересекла

данную прямую под углом 90°. Решение показано на рис. 92, где слева дано

исходное положение, в середине показано образование, кроме си-

') Согласно прямой теореме о трех перпендикулярах: если KL±C°K, то KLJL

С К. Согласно обратной теореме: если K.LLCK, то KLJ-C°K.

²) Интересующихся доказательством обратных теорем отсылаем к

предыдущим изданиям книги.

стемы 1, 2, еще одной системы 4, 1, причем пл. 4%ВС, а справа

выполнено построение прямой AKLBC.

Так как пл. 4% ВС, что обеспечивается проведением оси 4\1,

параллельно B'C', то прямой угол АКВ (или АКС) проецируется на пл. 4 в виде

прямого же угла A^IVK^IVB^IV. Построив

проекции точки A и прямой BC на пл. 4, проводим

A^IVK^IV % B^IV C^IV, а затем

получаем проекции К' и К" и проекции А'К' и А"К" (ход построения указан

стрелками).

Можно ли считать, что, построив перпендикуляр АК к прямой BC, мы

определили расстояние от А до BC? Нет, мы только построили проекции отрезка

АК; ни одна из них не определяет величинц расстояния. Если надо определить

величину отрезка АК, т. е. расстояние от A до BC, то надо продолжить

построение, применив хотя бы способ, изложенный в § 13. . ·

5. Ecли плоскость тупого или острого угла не перпендикулярна к

плоскости проекций и хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости

проекций, то проекция тупого угла на эту плоскость представляет собой тупой

угол, а проекция острого угла -- острый угол.

Предположим, что прямая СВ (рис. 93) параллельна плоскости проекций.

Рассмотрим тупой угол КСВ или острый угол МСВ и проведем в плоскости этого

угла прямую CL% СВ. Так как угол LCB-- прямой, то его проекция -- угол LC°B°

Рис. 93 Рис. 94

представляет собой также прямой угол. Этот угол заключен внутри угла

КѰ° и заключает внутри себя угол МѰ°, следовательно, угол КѰ° --

тупой, а угол МѰ° -- острый. Таким образом, проекция угла представляет

собой угол с тем же названием (прямой, тупой или острый), что и сам угол,

если хотя бы одна сторона угла параллельна плоскости проекций. Вообще же

проекция любого угла может представлять собой или острый, или прямой, или

тупой угол, в зависимости от положения утла относительно плоскости проекций.

6. Если обе стороны любого угла, параллельны плоскости проекций, то его

проекция равна по величине проецируемому углу.

Это следует из равенства углов с параллельными и одинаково

направленными сторонами.

Поэтому, например, угол между прямой АВ (рис. 50, с. 27) и пл. 2 легко

определить: это - угол между проекцией А 'В' и осью х; таким же образом угол

между CD и пл. 1 (рис. 51) определится как угол между C"D" и осью х, угол

между EF (рис. 52) и пл. 2 -- как угол между E"'F'" и осью z.

Для прямого угла равенство между его проекцией и самим углом имеет

место и тогда, когда лишь одна сторона прямого угла параллельна плоскости

проекций.

Но для острого или тупого угла, у которого одна сторона параллельна

плоскости проекций, проекция угла не может равняться проецируемому углу. При

этом проекция острого угла меньше проецируемого угла, а проекция тупого

больше проецируемого угла.

Пусть (рис.94) угол А 1ВС -- острый и его сторона СВ параллельна пл.

Ѱ° || СВ. Пл. проведенная через точку С перпендикулярно к СВ,

перпендикулярна к пл. , пересекая последнюю по прямой п°, проходящей через С° и

перпендикулярной к Ѱ°, Если провести через точку В различные прямые под

тем же самым острым углом к прямой СВ, то все эти прямые будут пересекать

пл. в точках, проекции которых расположатся на прямой п°. Положим, что

прямые АВ и А1В составляют с прямой СВ равные между собой утлы: " ABC = "А

1ВС. Если при этом АВ параллельна плоскости , то" А°В°С°=" ABC. Если же

сторона А 1В не параллельна, то проекция точки At получится на прямой и°

ближе к С°, чем проекция точки А. Следовательно, проекция угла A1BC

представляет собой угол, меньший угла А°В°С°, т. е. "А 1⁰°Ѱ

< "А1BC

7. Если стороны угла параллельны плоскости проекций или одинаково

наклонены к ней. то деление проекции угла на этой плоскости пополам

соответствует делению пополам и самого угла в пространстве.

8. Деление угла в пространстве пополам соответствует делению пополам и

его проекции только при условии, что стороны угла составляют с плоскостью

проекций равные углы').

9. Если стороны угла одинаково наклонены к плоскости проекций, то

угол-проекция не может равняться проецируемому углу.

Это (рис. 95) можно устаноэить путем совмещения угла MKN с пл. я„

при вращении вокруг прямой. При этом угол окажется внутри угла МК^,

а вершины К„ и К° -- на общем перпендикуляре к

Рис. 95 Рис. 96

10. Проекции острого и тупого углов могут равняться проецируемому углу

не только при условии параллельности сторон угла плоскости проекций.

Из рис.96 видно, что все углы, например острый угол и тупой угол

MKNit стороны которых соответственно расположены в проецирующих плоскостях

и , имеют своей проекцией угол, равный углу MLN, причем эти углы могут

приближаться к 0° и к 180°. Очевидно, среди этих углов может оказаться угол,

равный своей проекции.

Пример построения такого угла дан в § 38.