§ 35. Вращение точки, отрезка прямой, плоскости вокруг оси,

ПЕРПЕНДИКУЛЯРНОЙ К ПЛОСКОСТИ ПРОЕКЦИЙ

Вращение вокруг заданной оси.

1. Пусть точка А вращается вокруг оси, перпендикулярной к пл. 1 (рис.

212). Через точку А проведена пл. , перпендикулярная к оси вращения и,

следовательно, параллельная пл. 1. При вращении точка А описывает в пл.

окружность радиуса R; величина радиуса выражается длиной перпендикуляра,

проведенного из точки А на ось. Окружность, описанная в пространстве точкой

А, проецируется на пл. 1 без искажения. Так как пл. перпендикулярна к

пл. 2, то проекции точек окружности на пл. 2 расположатся на ", т. е. на

прямой, перпендикулярной к фронтальной проекции оси вращения. Чертеж дан на

рис. 212 справа: окружность, описанная точкой А при вращении ее вокруг оси,

спроецирована без искажения на пл. 1 Из точки О', как из центра, проведена

окружность радиуса R = О'А'!"No; на пл. 2 эта окружность изображена

отрезком прямой, равным 2R.

Рис. 212 Рис. 213 Рис. 214

На рис. 213 изображено вращение точки А вокруг оси, перпендикулярной к

пл. 2. Окружность, описанная точкой А, спроецирована без искажения на пл.

2. Из точки 0", как из центра, проведена окружность радиуса R= О'А'; на пл.

эта окружность изображена отрезком прямой, равным 2R.

86

Из рассмотрения рис. 212 и рис. 213 отчетливо видно, что при вращении

точки вокруг оси, перпендикулярной к какой-нибудь из плоскостей проекций,

одна из проекций вращаемой точки перемещается по прямой, перпендикулярной к

проекции оси вращения.

На рис. 214 показан поворот точки A против движения часовой стрелки на

угол вокруг оси, проходящей через точку О перпендикулярно к пл. 2. Из

точки О", как из центра, проведена дуга радиуса О"А", соответствующая углу

и направлению вращения. Новое положение фронтальной проекции точки А --

точка

.

2. Теперь рассмотрим поворот отрезка_прямой линии вокруг заданной оси.

Отрезок АВ (рис. 215) повернут в положение

. Очевидно, дело свелось к повороту точек А и В на заданный угол по

заданному направлению. Пути перемещения фронтальных проекций этих точек

указаны прямыми, проведенными через А" и В" перпендикулярно к фронтальной

проекции оси вращения

Новое положение горизонтальной проекции точки А (точка

) получено при повороте радиуса О'А' на заданный угол . Для нахождения

точки В' (положение горизонтальной проекции точки В после поворота)

проведена дуга радиусом О'В"

Рис. 215 Рис. 216

и в этой дуге отложена хорда В¹

, равная хорде 1--2; это соответствует повороту точки В на тот же

угол_.

Далее, из точек

' и

' проведены линии связи до пересечения направлениями перемещения

фронтальных проекций; получены проекции

" и

".

Отрезки прямых между точками

" и

" и между точками А' и В' определяют новые положения фронтальной и

горизонтальной проекций отрезка АВ после его поворота в положение А В.___·

Так как в треугольниках '' и А' В'О' (рис. 215) стороны_В'О' и А'О'

треугольника А'В'О' .равны (как радиусы) соответственно сторонам ' и

А'О' треугольника А' В'О' и углы, заключенные между указанными_сторонами,

также равны, то эти треугольники равны между собой. Значит, А'В¹=

А' В', т. е. величина горизонтальной проекции отрезка, повернутого вокруг

оси, перпендикулярной к пл. 1( не изменяется. Очевидно, такое же заключение

справедливо в отношении фронтальной проекции отрезка при его повороте вокруг

оси, перпендикулярной к пл. 2.

В равных между собой треугольниках А'В'О' и А' В'О' (рис._215) будут

равны и их высоты, проведенные, например, из точки О' на А'В' и А' В'.

Сделанные выводы позволяют установить следующий способ построения новых

проекций отрезка, вращаемого около оси на заданный угол (рис. 216). Через

точку О' проводим прямую, перпендикулярную к А'В¹; точку С'

(пересечение перпендику-

87

ляра с А'В') повертываем на заданный угол. Проведя через точку С"

(новое положение точки С') прямую, перпендикулярную к радиусу О' С',

получаем направление нового положения горизонтальной проекции отрезка.

Так_как отрезки С' А' и С' В¹ не_изменяют своей величины, то,

откладывая от точки С' отрезки С' А' = С' А' и С' В' = С'В', находим

новое положение А'В'_проекции всего отрезка. Нахождение нового положения

фронтальной проекции А"В" остается прежним.

Указанным способом можно не только повернуть отрезок на заданный угол,

но и определить угол, на который надо повернуть заданный отрезок, чтобы

придать ему некоторое требуемое положение (например, расположить параллельно

плоскости 2).

3. Поворот плоскости вокруг заданной оси сводится к повороту

принадлежащих ей точек и прямых линий.

Пример дан на рис. 217: треугольник АВС, определяющий плоскость,

повернут в положение A B C согласно заданным углу и направлению,

указанному стрелкой. Построение подобно показанному на рис. 215: там были

повернуты две точки А и В, здесь же три точки -- вершины А, В и С, а

следовательно, и вся фигура. Треугольники А'В'С и А' В¹ С' равны

между собой по построению: при оси, перпендикулярной к пл. 1,

горизонтальная проекция величины своей не изменяет. Это

Рис. 217

соответствует тому, что угол наклона пл. ABC по отношению к пл. 1 не

изменяется, ;если ось вращения перпендикулярна к пл. 1. Очевидно, при

повороте вокруг оси, перпендикулярной к пл. 2, не изменяется угол наклона

вращаемой плоскости к пл. 2 и сохраняется величина фронтальных проекций.

При вращении, плоскости, выраженной ее следами, обычно поворачивают

один из следов и горизонталь (или фронталь) плоскости. Пример дан на рис.

218; плоскость общего положения повернута на угол вокруг оси,

перпендикулярной к пл. 1. На следе h'0. взята точка, ближайшая к оси

вращения,-- точка А' (О' А' % h'0 )подобно тому, как была на рис. 216 взята

точка С'. Затем точка А' повернута на угол . Через полученную точку А'

проведена прямая линия, перпендикулярная к О' А'; это горизонтальный след

плоскости в ее новом положении.

Для нахождения фронтального следа плоскости после ее поворота

достаточно найти, помимо найденной точки Х на оси х, еще одну точку,

принадлежащую следу. В пл. взята горизонталь N'F', N"F", пересекающая ось

вращения (N'F¹ проходит через горизонтальную проекцию оси

вращения). Конечно, можно взять горизонталь и не пересекающую ось вращения.

Так как горизонталь и при новом положении плоскости останется параллельной

ее горизонтальному следу, то надо провести через О' прямую, параллельную

h'0 ; получится новое положение гори-

88

зонтальной проекции горизонтали. Фронтальная ее проекция не изменит

своего направления, а поэтому легко найти новый фронтальный след горизонтали

-- точку N". Теперь можно построить фронтальный след (f"o).

Вращение вокруг выбранной осн. В ряде случаев ось вращения может быть

выбрана. При этом, если ось вращения выбрать проходящей через один из концов

отрезка, то построение упростится, так как точка, через которую проходит

ось, будет "неподвижной" и для поворота отрезка надо построить новое

положение проекций только одной точки -- другого конца.

На рис. 219 показан случай, когда для поворота отрезка АВ выбрана ось

вращения, перпендикулярная к пл. 1 и проходящая через точку А. При

повороте вокруг такой оси можно, например, расположить отрезок параллельно

пл. 2.

Рис.. 219 Рис. 221

Именно такое положение показано на рис. 219. Горизонтальная проекция

отрезка в своем новом положении перпендикулярна к линии связи А'А". Найдя

точку В" и построив отрезок А" В^", получаем фронтальную проекцию

отрезка АВ в его новом положении. Проекция А" В" выражает длину отрезка АВ.

Угол А" В"В" равен углу между прямой АВ и пл. 1.

Если поставить перед собой цель -- определить угол наклона прямой

общего положения к пл. 2, то надо провести ось вращения перпендикулярно к

пл. 2 и повернуть прямую так, чтобы она стала параллельной пл. .

Предоставляем читателю выполнить такое построение.

Если при повороте плоскости, выраженной следами, можно выбрать ось

вращения, то ее целесообразно расположить в плоскости проекций; построения в

этом случае упрощаются. Пример дан на рис. 220. Положим, что ось вращения

должна быть перпендикулярна к пл. 1. Если ее взять, в пл. 2, то на следе

f"o , оказывается "неподвижная" точка О (в пересечении с осью вращения).

После поворота плоскости фронтальный след должен пройти через эту точку.

Следовательно, найдя положение горизонтального следа (h'0) после поворота,

надо провести след f"o через точку Х и через точку О". По сравнению с рис.

218 упрощение состоит в том, что отпала горизонталь. Она понадобилась бы в

случае "ухода" точки Х" за пределы чертежа; но в аналогичном случае на рис.

218 пришлось бы взять две вспомогательные линии.

На рис. 221 плоскость общего положения повернута в положение

горизонтально-проецирующей; при этом определился угол наклона пл. к пл.

2. Если взять ось вращения, перпендикулярную к пл. 1 то можно пл.

поставить в положение фронтально-проецирующей, определив при этом угол

наклона плоскости к пл. 1.

Сравнивая между собой плоскости до и после поворота, замечаем, что

угол, образуемый следами f"o и h'0 на чертеже, вообще изменяется.

89

Если представить себе круговой конус с вершиной в точке О и с

основанием на рис. 220 в пл. 1ь а на рис. 221 в пл. 2 и .касательную к

конусу пл. , то поворот пл. вокруг оси вращения, совпадающей с осью

конуса, представляет собой как бы "обкатку" конуса касательной к нему

плоскостью.

ВОПРОСЫ К § 34-35

1. В чем заключается способ вращения?

2. Что такое плоскость вращения точки и как она располагается по

отношению к оси вращения?

3. Что такое центр вращения точки при повороте ее вокруг некоторой оси?

4. Что такое радиус вращения точки?

Последующие вопросы относятся к вращению вокруг оси, перпевдикулярной к

плоскости проекций.

5. Как перемещаются проекции точки?

6. Какая из проекций отрезка прямой линии не изменяет своей величины?

7. Как осуществляется поворот плоскости: а) не выраженной следами, 6)

выраженной следами?

8. В каком случае не изменяется при вращении наклон прямой линии по

отношению: а) к пл. ", б) к пл. -?

9. Такой же вопрос относительно плоскости 3.

10. Можно ли путем поворота определить длину отрезка прямой линии и

угол ее наклона к пл. , и . ..?

11. Можно ли путем поворота плоскости определить угол ее наклона к пл.

а, и к пл. я-?

Какое выгодное положение можно придать оси вращения при повороте: 1)

отрезка прямой, 2) плоскости, выраженной следами?