§ 31. Построение проекций угла между прямой и плоскостью и между двумя

ПЛОСКОСТЯМИ

Если прямая не перпендикулярна к плоскости, то углом между прямой и

плоскостью называют угол между этой прямой и ее проекцией на данной

плоскости.

Об углах между прямой и плоскостями проекций см, § 13.

На рис. 197 изображена прямая АВ, пересекающая пл, 0 в точке D; угол

образован отрезком BD данной прямой и проекцией B°D этого отрезка на пл. 0.

78

Построение проекций угла между прямой АВ и некоторой пл. выполнено на

рис. 198. Пл. задана ее горизонталью (проекции Р"Н" и Р'Н') и фронталью

(проекции P"F" и PF).

Построение выполнено в следующем порядке:

а) найдена точка D пересечения прямой АВ с пл. о, для чего через АВ

проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;

б) из точки А проведен перпендикуляр к пл. а;

в) найдена точка пересечения этого перпендикуляра с пл.' ос, для чего

проведена горизонтально-проецирующая плоскость ;

г) через точки D" и Е", D' и проведены прямые, чем определяются

проекции прямой АВ на пл. .

Рис. 197 Рис. 198

Угол A"D"E" представляет собой фронтальную проекцию угла между АВ и пл.

, а угол A'D Е' -- горизонтальную проекцию этого угла.

Построение проекции угла между прямой и плоскостью значительно

упрощается, если плоскость не является плоскостью общего положения, так как

в подобных случаях точка пересечения заданной прямой с плоскостью

определяется без дополнительных построений.

Две пересекающиеся между собой плоскости образуют четыре двугранных

угла. Ограничиваясь рассмотрением угла между и , показанного на рис. 199,

построим его линейный угол, для чего пересечем ребро двугранного угла

плоскостью , перпендикулярной к .

Построение проекций линейного угла выполнено на рис. 200. Пл. ос задана

треугольником , пл. -- треугольником .

а) Построена пл. % , проходящая через точку N (пл. задана ее

фронталью NF и горизонталью ).

79

б) Построена линия пересечения плоскостей и (прямая E); так как

пл. проведена через точку N пл. о, то надо найти только точку Е, для чего

взята вспо-

могательная плоскость .

в) Найдена линия пересечения плоскостей и (прямая NG); здесь также

надо было найти только точку G (вспомогательная пл. ).

Точка N является вершиной искомого линейного угла, угол E'N'G'

представляет собой горизонтальную проекцию этого угла, угол E'N"G" -- его

фронтальную проекцию.

На рис. 195 построены проекции линейного угла, измеряющего двугранный

угол, образуемый пл. с плоскостью проекций к,. Так как для получения

линейного угла надо провести плоскость, перпендикулярную к ребру двугранного

угла, то для получения утла наклона пл. к пл. , проведена пл. ,

перпендикулярная к следу h'o. Аналогично, для получения угла между пл. и

пл. 2 надо было бы провести плоскость перпендикулярно к. следу f"o.

На рис. 195 фронтальной проекцией искомого угла является угол ""', а

горизонтальная проекция угла совпадает со следом ". Величина угла может

быть определена построением прямоугольного,треугольника по катетам "' и

''.

ВОПРОСЫ К §§ 29-31

1. Как располагаются проекции перпендикуляра к плоскости?

2. Как взаимно располагаются горизонтальные проекции перпендикуляра к

плоскости в ее линии ската, проведенной через точку пересечения

перпендикуляра с плоскостью?

3. Как провести плоскость, перпендикулярную к данной прямой (через

точку на прямой и через точку вне прямой)?

4. Как провести перпендикуляр из точки на прямую общего положения (при

помощи плоскости, перпендикулярной к прямой, и при помощи введения в систему

к,, я- дополнительной плоскости проекций)?

5. Как построить взаимно перпендикулярные плоскости?

6. В каких случаях взаимная перпендикулярность одной пары одноименных

следов плоскостей соответствует взаимной перпендикулярности самих

плоскостей?

7. В каком случае в системе 1,2 взаимная перпендикулярность

плоскостей выражается взаимной перпендикулярностью фронтальных следов? В

каком случае в системе ·, л2 взаимная перпендикулярность плоскостей

выражается взаимной перпендикулярностью горизонтальных следов?

8. Перпендикулярны ли плоскости общего положения одна к другой, если их

одноименные следы взаимно перпендикулярны?

9. Что называется углом между прямой и плоскостью и какие действия надо

выполнить для построения на чертеже проекций этого угла?

Какие действия надо выполнить для построения на чертеже проекций

линейного угла для данного двугранного?