§ 13. Построение на чертеже натуральной величины

ОТРЕЗКА ПРЯМОЙ ОБЩЕГО ПОЛОЖЕНИЯ

И УГЛОВ НАКЛОНА ПРЯМОЙ К ПЛОСКОСТЯМ ПРОЕКЦИЙ 1 и 2

Из рассмотрения левой части рис. 69 можно заключить, что отрезок АВ

является гипотенузой прямоугольного треугольника АВ1, в котором один катет

равен проекции отрезка (А1 = А°В°), а другой катет равен разности расстояний

концов отрезка от плоскости проекций.

Рис. 69

Если координаты, определяющие расстояния концов отрезка от плоскости

проекций, имеют разные знаки (рис. 69, справа), то надо иметь в виду

разность алгебраическую:

В1 = ВВ° - (-АА⁰) = ВВ° + АА°.

Угол прямой линии с плоскостью проекций определяется как угол,

составленный прямой с ее проекцией на этой плоскости. Этот _ угол входит в

тот же прямоугольный треугольник, который строят для определения натуральной

величины отрезка.

Очевидно, зная по чертежу катеты треугольника, можно его построить в

любом месте поля чертежа. На рис. 70 показано построение, примененное Г.

Монжем:

Рис. 70 Рис. 71 Рис. 72

от точки 1 отложен отрезок , равный проекции A'ff, и проведена

гипотенуза А"У, выражающая натуральную величину отрезка АВ. Угол с вершиной

в точке А" равен углу между АВ и пл. 1

На рис. 71 слева длина отрезка АВ и угол, составленный прямой АВ с пл.

1определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А'В'

при втором катете В'В*, равном В"1. АВ = А'В*.

На рис. 71 справа длина отрезка и угол, составленный с пл. п2,

определены из прямоугольного треугольника, построенного на проекции А"В"

(А"А* = А'2). АВ = В"А*.

Ограничены ли чем-либо углы и для прямой общего положения? Да,

каждый из них может быть только острым. Но, кроме того, для прямой общего

положения + < 90°. Действительно (рис. 72), в прямоугольном

треугольнике ' сумма углов + = 90°. Но в треугольниках '

при общей гипотенузе катет больше катета и,

следовательно, > 1. Подставляя в + 2=90° угол вместо ,получим

1+ 2<90°.

Рассмотрим (рис. 71) прямоугольные треугольники А'В'В* и A"B"A*. В

каждом из них гипотенуза выражает натуральную величину отрезка, а один из

катетов является проекцией этого отрезка. Другой же катет равен разности

расстояний концов отрезка от соответствующей плоскости проекций (В'В* - В"1

= разности расстояний от nlt a A"A* = А'2 = разности расстояний от я2).

Кроме того, в одном из этих треугольников содержится угол между отрезком и

пл. 1 (угол ) в другом -- угол между отрезком и пл. 2 (угол 2).

В данном случае нам были известны катеты и мы определяли гипотенузу и

угол. Но может быть и такое положение: известны гипотенуза и угол,

определить катеты (т. е. даны натуральная величина отрезка и углы,

составляемые им с плоскостями проекций; построить проекции этого отрезка).

Положим (рис. 73), что AB есть заданный отрезок (на рис. 71 он

соответствует гипотенузам A'B* и B"A*). Построим на нем, как на диаметре,

окружность. Приняв точку А за вершину, построим угол (т. е. заданный угол

с пл. 1) и прямоугольный треугольник А1В. Из сравнения этого треугольника с

треугольником А'В'В* (рис. 71) следует, что катет А1 выражает горизонтальную

проекцию отрезка AB,a катет В1 -- разность расстояний концов отрезка АВ от

пл. 1.

Построим (рис. 73) также прямоугольный треугольник А2В по той же

гипотенузе AB и заданному углу <рг с плоскостью проекций 2 и сравним его

с треугольником В"А"А* на рис.71. Очевидно, катет В2 выражает· фронтальную

проекцию заданного отрезка, а катет А2 -- разность расстояний концов отрезка

от пл. 2.

Теперь построим чертеж (рис. 74). Положим, что отрезок надо провести

через точку В влево вниз на себя. Отложив на линии связи B"B' от точки В"

отрезок В"1, равный В! (см. рис. 73), проведем через точку 1 прямую

перпендикулярно к В"В". Засекая эту прямую из точки В" дугой, радиус которой

должен равняться фронтальной проекции, т. е. отрезку В2, получим точку А".

Чтобы найти горизонтальную проекцию А', можно засечь линию связи.

Рис. 73 Рис. 74 Рис. 75

проведенную через точку А", дугой, радиус которой равен А1 (см. рис.

73). При этом должно получиться А"А' -- А2.

На рис. 74 дано лишь одно положение отрезка. Но может быть еще семь

других положений при начальной точке В. Предоставляем читателю изобразить

отрезок АВ и в этих положениях.

На рис. 75 дан пример определения расстояния от точки А до точки О.

Сначала построены проекции искомого отрезка -- А"О" и А'О' (точка О выражена

ее проекциями О" и О'). Затем построен треугольник А'О'А*, один катет

которого -- проекция А'О', другой -- отрезок А'А* = А"АХ. Искомое расстояние

определяется гипотенузой О'А*.

Теперь мы можем определить угол, составляемый прямой, равнонаклоненной

к плоскостям 1, 2 и 3, с этими плоскостями. Об этом угле говорилось в §

10, и была указана его величина ( ~ 35°). Ее можно определить, если

рассмотреть хотя

Рис. 76 Рис. 77

бы рис. 76: проекции А"В" и А'В' равны между собой, и углы А"В"1 и

2А'В' равны каждый 45° (см. § 10).

Искомый угол определен из прямоугольного треугольника А'В'В*, в_котором

катет Если принять В"1 равным единице, то А'В' = А"В" = у 2 и угол 35°15'. Таковы же углы между этой прямой и плоскостями 2 и 3.

Если применить то, что было сказано в § 8, т. е. дополнить систему 1,

2 системой 4, 1, выбрав пл. 4% 1 и параллельно заданному на чертеже

отрезку прямой линии, то, очевидно, проекция этого отрезка на пл. 4 выразит

его натуральную величину и угол с пл. 1.

Положим (рис.77), требуется определить натуральную величину отрезка,АВ

и угол его с пл. 1. В систему 1 , 2 введена пл. 4 % 1 так, что 4

II АВ. Возникла дополнительная система 4, 1. В ней АВ \\ 4 (ось 4/ 1 || А'В¹); проекция выражает

натуральную величину отрезка АВ.