§ 29. Построение взаимно перпендикулярных прямой и плоскости

Из всех возможных положений прямой, пересекающей плоскость, отметим

случай, когда прямая перпендикулярна к плоскости, и рассмотрим свойства

проекций такой прямой.

На рис. 185 задана плоскость, определяемая двумя пересекающимися

прямыми AN и AM, причем AN является горизонталью, a AM -- фронталью этой

плоскости. Прямая АВ, изображенная на том же чертеже, перпендикулярна к AN и

к AM и, следовательно, перпендикулярна к определяемой ими плоскости.

Перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к любой прямой, проведенной в

этой плоскости. Но чтобы при этом проекция перпендикуляра к плоскости общего

положения оказалась перпендикулярной к одноименной проекции какой-либо

прямой этой плоскости, прямая должна быть горизонталью, или фронталью, или

профильной прямой плоскости. Поэтому, желая построить перпендикуляр к

плоскости, берут в общем случае две такие прямые (например, горизонталь и

фронталь, как это показано на рис. 185).

Итак, у перпендикуляра к плоскости его горизонтальная проекция

перпендикулярна к горизонтальной проекции горизонтали, фронтальная проекция

перпендику-

74

лярна к фронтальной проекции фронтали, профильная проекция

перпендикулярна к профильной проекции профильной прямой этой плоскости.

Очевидно, в случае, когда плоскость выражена следами (рис. 186), мы

получаем следующий вывод: если прямая перпендикулярна к плоскости, то

горизонтальная проекция этой прямой перпендикулярна к горизонтальному следу

плоскости, а фронтальная проекция перпендикулярна к фронтальному следу

плоскости.

Итак, если в системе ,, 2 горизонтальная проекция прямой

перпендикулярна к горизонтальному следу и фронтальная проекция прямой

перпендикулярна к фронтальному следу плоскости, то в случае плоскостей

общего положения (рис. 186), а также горизонталъно-и фронтально-проецирующих

прямая перпендикулярна к плоскости. Но для профильно-проецирующей плоскости

может оказаться, что прямая к этой плоскости не перпендикулярна, хотя

проекции прямой соответственно перпендикулярны к горизонтальному и

фронтальному следам плоскости. Поэтому в случае профильно-проецирующей

плоскости надо рассмотреть также взаимное положение профильной проекции

прямой и профильного следа данной плоскости и лишь после этого установить,

будут ли перпендикулярны между собой данные прямая и плоскость.

Очевидно (рис. 187), горизонтальная проекция перпендикуляра к плоскости

сливается с горизонтальной проекцией линии ската, проведенной в плоскости

через основание перпендикуляра.

На рис. 186 из точки А проведен перпендикуляр к пл. (А"С" % f"o, AC

% h'o и показано построение точки Е, в которой перпендикуляр АС пересекает

пл. . Построение выполнено с помощью горизонтально-проецирующей пл. ,

проведенной через перпендикуляр АЕ.

На рис. 188 показано построение перпендикуляра к плоскости,

определяемой треугольником ABC. Перпендикуляр'проведен через точку А.

Так как фронтальная проекция перпендикуляра к плоскости должна быть

перпендикулярна к фронтальной проекции фронтали плоскости, а его

горизонтальная проекция перпендикулярна к горизонтальной проекции

горизонтали, то в плоскости через точку А проведены фронталь с проекциями

A'D' и A"D" и горизонталь А"Е", А'Е'. Конечно, эти прямые не обязательно

проводить именно через точку А.

Далее проведены проекции перпендикуляра: M"N"% A"D", M'N'% A'E'. Почему

проекции на рис. 188 на участках A"N" и А'М' показаны штриховыми линиями?

Потому, что здесь рассматривается плоскость, заданная треугольником ABC, а

не только этот треугольник: перпендикуляр находится частично перед

плоскостью, частично за ней.

75

На рис. 189 и 190 показано построение плоскости, проходящей через точку

А перпендикулярно к прямой ВС. На рис. 189 плоскость выражена следами.

Построение начато с проведения через точку А горизонтали искомой плоскости:

так как горизонтальный след плоскости должен быть перпендикулярен к В'С, то

и горизонтальная проекция горизонтали должна быть перпендикулярна к В'С.

Поэтому A'N'% В'С'. Проекция A"N" \\ оси х, как это должно быть у

горизонтали. Затем проведен через точку " (" - фронтальная проекция

фронтального следа горюонтали AN) след f"o% В"С", получена точка X, и

проведен след h'o" II-4'-V' (h^LB'C).

На рис. 190 плоскость определена ее фронталью AM и горизонталью AN. Эти

прямые перпендикулярны к ВС (А"М"% В"С", A'N' %

В'С); определяемая ими плоскость перпендикулярна к ВС.

Так как перпендикуляр к плоскости перпендикулярен к каждой прямой,

проведенной в этой плоскости, то, научившись проводить плоскость

перпендикулярно к прямой, можно воспользоваться этим для проведения

перпендикуляра из некоторой точки А к прямой общего положения ВС. Очевидно,

можно наметить следующий план построения проекций искомой прямой:

1) через точку А провести плоскость (назовем ее ), перпендикулярную к

ВС;

2) определить точку К пересечения прямой ВС с ил. ;

соединить точки А и К отрезком прямой линии.

Прямые АК и ВС взаимно перпендикулярны.

Пример построения дан на рис. 191. Через точку А проведена плоскость

(), перпендикулярная к ВС. Это сделано при помощи фронтали, фронтальная

проекция

76

A"F" которой проведена перпендикулярно к фронтальной проекции В"С", и

горизонтали, горизонтальная проекция которой перпендикулярна к В'С.

Затем найдена точка К, в которой прямая ВС пересекает пл. . Для этого

через прямую ВС проведена горизонтально-проецирующая плоскость (на чертеже

она задана только горизонтальным следом ¹). Пл. пересекает пл.

по прямой с проекциями 1'2' и 1 "2". В пересечении этой прямой с прямой ВС

получается точка К. Прямая АК является искомым перпендикуляром к ВС.

Действительно, прямая АК пересекает прямую ВС и находится в пл. ,

перпендикулярной к прямой ВС', следовательно, AKLBC.

В § 15 было показано (рис. 92), как можно провести перпендикуляр из

точки на прямую. Но там это было выполнено при помощи введения в систему

1,2 дополнительной плоскости и образования, таким образом, системы 3, 1,

в которой пл. 3 проводится параллельно заданной прямой. Рекомендуем

сравнить построения, данные на рис. 92 и 191,

На рис. 192 изображены плоскость общего положения о, проходящая через

точку A, и перпендикуляр AM к этой плоскости, продолженный до пересечения с

пл. , в точке В'.

Угол 1 между пл. и пл. nt и угол между прямой AM и пл. являются

острыми углами прямоугольного треугольника В'AM', и, следовательно, 1 + =

90°. Аналогично, если пл. составляет с пл. 2 угол ?, а прямая AM,

перпендикулярная к о, составляет с пл. 2 угол , 2 + = 90°. Из этого,

прежде всего, следует, что плоскость общего положения, которая должна

составлять с пл. угол ,, а с пл. 2 угол 2, может быть построена, лишь

если 180° >1 +2>90°.

Действительно, складывая почленно + = 90° и 2 + = 90°, получим

1 + 2 + + = 180°, . е. + 2 < 180°, а так как + < 90°

(см. с. 33), 1 + 2 > 90°. Если взять :1 + 2 = 90°, то получится

профильно-проецирующая плоскость, а если взять , + 2 = 180°, то получится

профильная плоскость, т. е. в обоих этих случаях плоскость не общего

положения, а частного.