4. Интегральная теорема Муавра-Лапласа, её следствия и условия их применимости

Теорема (интегральная теорема Муавра-Лапласа). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то вероятность того, что число m наступления событие А в п независимых повторных испытаниях заключено в пределах от a до b (включительно), при достаточно большом числе п приближенно равна

,

где ; и .

(х) – функция Лапласа, табулированная в приложении II .

Условия применения:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .

Пользуясь таблицей, можно применять свойства функции (х):

1. Функция (х) является нечетной, т.е. (-х)= -(х).

2. Функция (х) возрастает на R.

3. (х)1 при + . Практически можно считать, что (х)1 уже при x>4.

Рассмотрим следствия интегральной теоремы Муавра-Лапласа.

Следствие. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна и отличается от 0 и 1, то при достаточно большом числе п независимых повторных испытаний вероятность того, что:

а) число m наступлений события А отличается от среднего значения пp не более, чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна

;

б) частость события А заключена в пределах от  до  (включительно), приближенно равна

, где и ;

в) частость события А отличается от его вероятности p не более чем на величину >0 (по абсолютной величине), приближенно равна

.

Условия применения формул совпадают с условиями применения интегральной теоремы Муавра-Лапласа:

n – велико, а p и q – не очень малы, так что npq20 .

Доказательство.

а) неравенство m-np равносильно двойному неравенству np-  m  np+ . Следовательно, по интегральной формуле Муавра-Лапласа

.