11_Конспекты лекций

2. Непрерывная случайная величина (нсв). Плотность вероятности нсв, ее определение и свойства

Понятие непрерывной случайной величины является непосредственным обобщением понятия дискретной случайной величины. Оно приводит к новому понятию плотности вероятности и к новым определениям математического ожидания и дисперсии.

Хотя тема в основном имеет теоретический характер и не используется в задачах, предлагаемых в контрольных работах, без ее изучения нельзя освоить последующие темы.

Определение 1. Случайная величина Х называется непрерывной, если ее функция распределения непрерывна в любой точке и дифференцируема всюду, кроме, быть может, отдельных точек.

При описании непрерывной случайной величины принципиально невозможно выписать и занумеровать все её значения, принадлежащие даже достаточно узкому интервалу. Эти значения образуют несчётное множество, называемое «континуум».

Теорема 1. Вероятность любого отдельно взятого значения непрерывной случайной величины равно нулю.

Доказательство.

Следствие. Для непрерывной случайной величины Х справедливы равенства:

P(x₁< X  x₂) = P(x₁< X < x₂) = P(x₁  X < x₂) = P(x₁ X  x₂).

Пусть Х – НСВ. Рассмотрим для некоторого числа х вероятность P(х  Х  х + х) попадания НСВ на промежуток [х; х + х].

Средняя плотность вероятности на этом промежутке равна .

Очевидно, что если х  0, то P(х  Х  х + х)  0.

Определение 1. Плотностью вероятности НСВ в точке х называется предел , если такой предел существует.

Теорема 1. Плотность вероятности (x) непрерывной случайной величины Х равна производной ее функции распределения, т.е.

(x) = F (x).

Доказательство.

Свойства плотности вероятности (x) непрерывной случайной величины Х:

(x) – неотрицательная функция.
Вероятность попадания НСВ в промежуток [a;b] равна определенному интегралу от ее плотности вероятности в пределах от a до b , т.е. P(a  Х  b)= .
Функция распределения НСВ выражается через плотность вероятности по формуле

Несобственный интеграл с бесконечными пределами интегрирования от плотности вероятности НСВ равен единице, т.е. .

График плотности вероятности НСВ называется кривой распределения.

Понятия математического ожидания M(X) и дисперсии D(X), введенные для дискретной случайной величины X, можно распространить на непрерывные случайные величины.

Определение 2. Математическим ожиданием М(Х) непрерывной случайной величины Х называется несобственный интеграл (если интеграл абсолютно сходится).

Определение 3. Дисперсией D(Х) непрерывной случайной величины Х называется несобственный интеграл (если интеграл сходится).

Все свойства математического ожидания и дисперсии дискретных случайных величин справедливы и для непрерывных случайных величин.

Содержание