logo
11_Конспекты лекций

2. Лемма Чебышева (неравенство Маркова) Неравенство Чебышева и его частные случаи для случайной величины, распределенной по биномиальному закону, и для частости события

Теорема 1. Если случайная величина Х принимает только неотрицательные значения и имеет математическое ожидание, то для любого положительного числа верно неравенство

.

Доказательство. Пусть Х  дискретная случайная величина, имеющая ряд распределения

X:

x1

x2

xi

xn

p1

p2

pi

pn

Пусть значения x1, x2,  , xk не превосходят  , а значения xk+1,  , xn больше .

По теореме сложения вероятностей .

Но . Это вытекает из неотрицательности случайной величины Х и определения математического ожидания. Следовательно, . Теорема доказана.

Теорема 2. Для любой случайной величины Х, имеющей математическое ожидание и дисперсию, справедливо неравенство Чебышева:

, где a=M(X), >0.

Доказательство. Применим лемму Чебышева к случайной величине и положительному числу 2. Получим неравенство , равносильное неравенству . Теорема доказана.

Замечание. События X-a> и X-a противоположны, следовательно:

.

Запишем неравенство Чебышева для некоторых типов случайных величин.

1. Для случайной величины Х=m, имеющей биномиальный закон распределения с математическим ожиданием np и дисперсией npq, справедливо неравенство:

.

2. Для частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью , и имеющей дисперсию , справедливо неравенство:

.