1. Двумерное нормальное распределение. Условное математическое ожидание и условная дисперсия

Вспомним определение обычной нормальной случайной величины. Случайная величина распределена по нормальному закону, если её функция распределения и плотность вероятностей имеют вид:

F(x) = + ( ), (x) = .

Определение 1. Двумерная случайная величина (Х,У) распределена по нормальному закону, если её совместная плотность имеет вид:

(x,у) = ,

где L(x,y) = [( )² - 2 + ( )²] .

Если нормальный закон одной случайной величины определяется двумя параметрами: а и , то двумерный нормальный закон распределения определяется пятью параметрами: а_х, а_у, ²_х , ²_у, , которые являются математическими ожиданиями и дисперсиями соответствующих случайных величин, а - коэффициент корреляции.

Аналогично формулам условных вероятностей для дискретных случайных величин, можно вывести аналогичные формулы для плотности вероятностей условных распределений, которые имеют вид:

_у(x) = и _х(у) = .

Из этих формул следует теорема (правило) умножения плотностей вероятностей:

(х,у) =  ₁(x) _х(у) =  ₂(у) _у(x).

Условные математические ожидания и условные дисперсии нормально распределённых величин вычисляются по формулам:

М_у(х) = а_х + (у - а_у), М_х(у) = ау + (х - а_х),

D_у(Х) = ²_х(1 - ²), D_х(У) = ²_у(1 - ²).