logo
11_Конспекты лекций

4. Биномиальный закон распределения и закон Пуассона

Определение 1. Дискретная случайная величина Х имеет биномиальный закон распределения с параметрами p и n, если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … , n с вероятностями

,

где 0<p<1, q=1-p, m = 0, 1, 2, … , n . Ряд распределения биномиального закона имеет вид:

X:

xi

0

1

2

m

n

pi

qn

pn

Заметим, что

.

Вспоминая формулу Бернулли, можно сделать вывод о том, что биномиальный закон распределения является законом распределения числа X=m наступлений события А в n независимых испытаниях, в каждом из которых событие А может произойти с одной и той же вероятностью p.

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M(X)=np, а ее дисперсия равна D(X)=npq.

Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х= Х1+ Х2+…+ Хk+…+ Хn , где случайная величина Хk выражает число наступлений события А в k-ом испытании (k = 1, 2, … , n) и имеет закон распределения

Xk:

xi

0

1

pi

q

p

Вычислим математическое ожидание M(Xk) = x1p1 + x2p2 = 0q+1p = p и дисперсию

D(Xk) = (x1-p)2p1 + (x2-p)2p2 = (0-p)2q + (1-p)2p = p2q + q2p = pq (p+q) = pq .

Следовательно, M(X)= M(X1)+ M(X2)+…+ M(Xn) = p+ p+…+ p = np,

D(X)= D(X1)+ D(X2)+…+ D(Xn) = pq + pq +…+ pq = npq. Теорема доказана.

Определение 2. Дискретная случайная величина Х имеет закон распределения Пуассона с параметром , если она принимает значения 0, 1, 2, … , m, … (бесконечное но счетное множество значений) с вероятностями

,

где m = 0, 1, 2, … . Ряд распределения закона Пуассона имеет вид:

X:

Xi

0

1

2

m

pi

e-

e-

Заметим, что .

Теорема 2. Математическое ожидание и дисперсия случайной величины Х, распределенной по закону Пуассона, равны параметру , т. е. M(X)= и D(X)= .

Доказательство. Вычислим математическое ожидание случайной величины Х по формуле .

.

Дисперсию случайной величины Х вычисляем по формуле

.

.

Следовательно, D(X) = (2 + ) - 2 = . Теорема доказана.

Замечание 1. При достаточно больших значениях n и малых значениях p при условии, что произведение np , закон распределения Пуассона является хорошим приближением биномиального закона. Так как при этом вероятность p наступления события А в каждом испытании мала, то закон распределения Пуассона часто называют законом редких явлений.