3. Математическое ожидание и дисперсия числа m и частости m/n наступлений события в п повторных независимых испытаниях

Математическое ожидание и дисперсия числа т и частости появлений события при n повторных независимых испытаниях могут быть также вычислены и по формулам:

Теорема 1. Математическое ожидание случайной величины Х, распределенной по биномиальному закону, равно M(X)=np, а ее дисперсия равна D(X)=npq.

Доказательство. Представим случайную величину Х как сумму n независимых случайных величин Х= Х₁+ Х₂+…+ Х_k+…+ Х_n , где случайная величина Х_k выражает число наступлений события А в k-ом испытании (k = 1, 2, … , n) и имеет закон распределения

Вычислим математическое ожидание M(X_k) = x₁p₁ + x₂p₂ = 0q+1p = p и дисперсию

D(X_k) = (x₁-p)²p₁ + (x₂-p)²p₂ = (0-p)²q + (1-p)²p = p²q + q²p = pq (p+q) = pq .

Следовательно, M(X)= M(X₁)+ M(X₂)+…+ M(X_n) = p+ p+…+ p = np ,

D(X)= D(X₁)+ D(X₂)+…+ D(X_n) = pq + pq +…+ pq = npq . Теорема доказана.

Следствие. Математическое ожидание частости события в n независимых испытаниях, в каждом из которых оно может произойти с одной и той же вероятностью p, равно p, то есть , а ее дисперсия рана .

Доказательство.

Если Х –дискретная случайная величина, распределенная по биномиальному закону, то частость события есть . Следовательно,

, .