1. Повторные независимые испытания. Формула Бернулли

Схемой Бернулли называется последовательность п независимых повторных испытаний, т.е. многократно повторяющихся испытаний, в каждом из которых событие А может наступить с постоянной вероятностью Р(А) = р.

При этом испытания называются независимыми относительно события А, если вероятность наступления события А в каждом испытании не меняется в зависимости от исходов других испытаний.

Теорема 1. Если вероятность р наступления события A в каждом испытании постоянна, то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях, равна

,

где — вероятность не наступления события А в каждом испытании.

Доказательство. Обозначим через B_m событие, состоящее в том, что в п независимых повторных испытаниях событие А наступит m раз.

Событие B_m есть сумма несовместимых событий - вариантов события B_m. Каждый вариант определяется номерами тех m испытаний, которые завершились появлением события А.

Число всех вариантов равно, очевидно, .

Вероятность каждого варианта ввиду независимости испытаний равна .

По теореме сложения для несовместимых событий получаем . Теорема доказана.