2. Оценка генеральной средней по собственно-случайной выборке

Пусть из генеральной совокупности объема N отобрана случайная выборка Х₁, Х₂, … , Х_k, … , Х_n , где Х_k  случайная величина, выражающая значение признака у k-го элемента выборки. Необходимо найти оценку генеральной средней. В качестве такой возможной оценки рассмотрим его статистический аналог – выборочную среднюю .

Теорема 1. Выборочная средняя повторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средней , причем ее дисперсия .

Доказательство. Математическое ожидание выборочной средней :

, т.е. – несмещенная оценка для .

Дисперсия выборочной средней :

.

Состоятельность оценки следует непосредственно из теоремы Чебышева.

Теорема 2. Выборочная средняя бесповторной выборки является несмещенной и состоятельной оценкой генеральной средняя , причем .