2. Асимптотическая формула Пуассона и условия ее применимости

Вычисление вероятности P_m,n появления события A при большом числе испытаний п по формуле Бернулли затруднительно. Возникает вопрос о нахождении формул, с помощью которых вероятность P_m,n можно вычислить приближенно. Такие формулы называют асимптотическими. Наиболее простой из них является формула Пуассона.

Теорема (теорема Пуассона). Если вероятность р наступления события A в каждом испытании стремится к нулю при неограниченном увеличении числа испытаний п, причем произведение np стремится к постоянному числу , то вероятность P_m,n того, что событие А наступит m раз в п независимых повторных испытаниях, приближенно равна

, где =np .

Доказательство. По формуле Бернулли . При достаточно больших значениях п имеем .

Тогда,

, так как

,

и .

Теорема доказана.

Условия применения:

п – велико, р – мало, так что пр10;

значение функции Пуассона определяется по таблице (приложение III в учебном пособии [1]).